Question

3．如圖所示為一種獲得高能粒子的裝置．環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外、大小可調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場．質(zhì)量為m、電量為+q的粒子在環(huán)中做半徑為R的圓周運(yùn)動．A、B為兩塊中心開有小孔的極板，板間距為d．A、B板原來電勢都為零，每當(dāng)粒子飛經(jīng)A板向B板運(yùn)動時(shí)，A板電勢升高為+U，B板電勢仍保持為零，粒子在兩板間電場中得到加速．每當(dāng)粒子離開B板時(shí)，A板電勢又降為零．粒子在電場一次次加速下動能不斷增大，而繞行半徑不變．粒子的重力忽略不計(jì)．
（1）設(shè)t=0時(shí)，粒子靜止在A板小孔處，在電場作用下加速．求粒子第一次穿過B板時(shí)速度v₁的大小；
（2）為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運(yùn)動，磁場必須周期性遞增．求粒子繞行第n圈時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B_n；
（3）求粒子繞行n圈所需的總時(shí)間t_n總．

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出第一次經(jīng)電場加速后的速度．
（2）由洛侖茲力提供向心力求出半徑公式r=$\frac{mv}{qB}$，由于半徑不變，但速度不斷增大，則只有磁感應(yīng)強(qiáng)度B也要不斷增大，才能保證半徑不變，求出繞行第n圈時(shí)的速度大小，由洛侖茲力提供向心力就能求得繞行第n圈時(shí)所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）分別求出粒子在磁場中第1圈、第2圈…第n圈繞行所用時(shí)間，相加之后再加上在電場中n次加速的總時(shí)間，就得到粒子繞行n圈r所需總時(shí)間t_n總

解答 解：（1）粒子從靜止開始第一次加速時(shí)，由動能定理$qU=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
  解得：v₁=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）粒子繞行第n圈時(shí)，nqU=$\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}$
 粒子受到的洛侖茲力提供向心力，qv_nB_n=$\frac{m{{v}_{n}}^{2}}{R}$
  解得：B_n=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$
（3）粒子在磁場中繞行第n圈的周期T_n=$\frac{2πR}{{v}_{n}}=\frac{2πm}{q{B}_{n}}$
  粒子在磁場中繞行第1圈所用時(shí)間t_磁1=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，B₁=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2×1mU}{q}}$
  粒子在磁場中繞行第2圈所用時(shí)間t_磁2=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$，B₂=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2×2mU}{q}}$
  粒子在磁場中繞行第3圈所用時(shí)間t_磁3=$\frac{2πm}{q{B}_{3}}$，B₃=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2×3mU}{q}}$
余次類推，粒子在磁場中繞行第n圈所用時(shí)間t_磁n=$\frac{2πm}{q{B}_{n}}$，B_n=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2×nmU}{q}}$
  解得：t_磁n總=t_磁1+t_磁2+t_磁3+…+t_磁n=$2πR\sqrt{\frac{m}{2qU}}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$
設(shè)粒子在電場中繞行n圈所用總時(shí)間為t_電n總，有a=$\frac{qU}{dm}$
  nd=$\frac{1}{2}a{{t}_{電n總}}^{2}$
 則粒子繞行n圈所需的總時(shí)間
  t_n總=t_磁n總+t_電n總=$2πR\sqrt{\frac{m}{2qU}}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$+$\sqrt{\frac{2nm8kqlw1j^{2}}{qU}}$
答：（1）設(shè)t=0時(shí)，粒子靜止在A板小孔處，在電場作用下加速．粒子第一次穿過B板時(shí)速度的大小v₁為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．
（2）為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運(yùn)動，磁場必須周期性遞增．粒子繞行第n圈時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B_n為$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$．
（3）粒子繞行n圈所需的總時(shí)間t_n總為$2πR\sqrt{\frac{m}{2qU}}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$+$\sqrt{\frac{2nm0eo5ez2^{2}}{qU}}$．

點(diǎn)評 本題的不同之處是在回旋加速器的基礎(chǔ)上進(jìn)行改裝的加速器，只是粒子做勻速圓周運(yùn)動的半徑始終為盒的半徑R不變，但由于每經(jīng)過同一地點(diǎn)均要加速粒子，所以粒子的速度要增加，要保證半徑不變則要每次的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小也相應(yīng)的增大．