Question

3．在豎直平面內有一曲線，以最低點為坐標原點，在豎直面內建立直角坐標系，曲線位于第一象限，在曲線上不同高度處以初速度v₀向x軸負方向水平拋出質量為m，帶電量為+q的小球，小球下落過程中都會通過坐標原點，之后進入第三象限的勻強電場和勻強磁場區(qū)域，磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，小球恰好做勻速圓周運動，并都能打到y(tǒng)軸負半軸區(qū)域（重力加速度為g）
（1）第三象限的電場強度大小及方向；
（2）求該曲線的曲線方程；
（3）要想所有的小球都打到y(tǒng)軸負半軸，求磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）小球在第三象限做勻速圓周運動，說明受到的合外力提供向心加速度，即洛倫茲力提供向心加速度，由此即可得出電場力與重力大小相等方向相反；
（2）結合平拋運動的規(guī)律即可求出；
（3）分析小球在電場中運動的可能的情況，結合矢量的分解的方法，求出粒子進入磁場時的速度方向與初速度、末速度的關系，得出半徑與偏轉距離的關系，從而得出磁場的長度和寬度，即可求出磁場區(qū)域的最小面積．

解答 解：（1）球在第三象限做勻速圓周運動，說明洛倫茲力提供向心加速度，所以電場中與重力大小相等．方向相反，即：
qE=mg
得：$E=\frac{mg}{q}$
方向豎直向上．
（2）小球在第一象限做平拋運動，水平方向：x=v₀t，
豎直方向：$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立可得：$y=\frac{g{x}^{2}}{2{v}_{0}^{2}}$
所以該曲線的曲線方程為：$y=\frac{g{x}^{2}}{2{v}_{0}^{2}}$
（3）若該粒子從O點直接進入磁場，則粒子的半徑：${r}_{0}=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
粒子在第三象限運動的軌跡是半個圓弧，如圖中實線：
當粒子從曲線的任意點拋出時，設進入磁場時與豎直方向的夾角是θ，粒子運動的軌跡如圖虛線，根據(jù)矢量的分解可知：
$v=\frac{{v}_{0}}{sinθ}$
此時粒子運動的半徑：$r=\frac{mv}{qB}=\frac{m{v}_{0}}{qB•sinθ}=\frac{{r}_{0}}{sinθ}$

所以粒子運動的半徑增大后，仍然從同一點射出．
所以磁場的最小區(qū)域對應的以圓的半徑r₀為半徑的半圓．所以磁場區(qū)域的最小面積為：
${S}_{m}=\frac{π}{2}{r}_{0}^{2}=\frac{π{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{2q}^{2}{B}^{2}}$
答：（1）第三象限的電場強度大小是$\frac{mg}{qB}$，方向豎直向上；
（2）該曲線的曲線方程是$y=\frac{g{x}^{2}}{2{v}_{0}^{2}}$；
（3）要想所有的小球都打到y(tǒng)軸負半軸，磁場區(qū)域的最小面積是$\frac{π{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{2q}^{2}{B}^{2}}$．

點評 該題考查帶電粒子在磁場中的運動，粒子的入射點不同，則進入磁場的方向與大小都不同，解答的關鍵就是要通過分析，得出所有的點都從同一點射出，才能順利找出磁場的最小區(qū)域的邊界．