Question

11．如圖所示，ABCDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的$\frac{1}{4}$圓周軌道，CDO是直徑為15m的半圓軌道．AB軌道和CDO軌道通過極短的水平軌道（長度忽略不計）平滑連接．半徑OA處于水平位置，直徑OC處于豎直位置．一個小球P從A點(diǎn)的正上方高H處自由落下，從A點(diǎn)進(jìn)入豎直平面內(nèi)的軌道運(yùn)動（小球經(jīng)過A點(diǎn)時無機(jī)械能損失）．當(dāng)小球通過CDO軌道最低點(diǎn)C時對軌道的壓力等于其重力的$\frac{23}{3}$倍，取g為10m/s．
（1）試求高度H的大�。�
（2）小球到達(dá)CDO軌道的最高點(diǎn)O的速度；
（3）求小球沿軌道運(yùn)動后再次落回軌道上時的速度大小．

Answer 1

分析 （1）設(shè)小球通過D點(diǎn)的速度為v，根據(jù)向心力公式列出方程，小球從P點(diǎn)落下直到沿光滑軌道運(yùn)動的過程中，機(jī)械能守恒，可解得H的高度；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求得速度；
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球通過O點(diǎn)的速度，與O點(diǎn)的臨界速度進(jìn)行比較，判斷能否越過O點(diǎn)，若能越過O點(diǎn)，將做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動水平位移和豎直位移的關(guān)系求出平拋運(yùn)動的時間，從而求出豎直方向上的分速度，根據(jù)平行四邊形定則求出落回軌道上時的速度大�。�

解答 解：（1）在C點(diǎn)對軌道的壓力等于重力的$\frac{23}{3}$倍，由牛頓第三定律得在C點(diǎn)軌道對小球的支持力大小為$\frac{23}{3}$mg
設(shè)小球過C點(diǎn)速度v₁
$\frac{23}{3}mg-mg=\frac{{mv}_{1}^{2}}{\frac{R}{2}}$
P到C過程，由機(jī)械能守恒：
$mg（H+\frac{R}{2}）=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得：H=10m
（2）設(shè)小球能到達(dá)O點(diǎn)，由P到O，機(jī)械能守恒，到O點(diǎn)的速度v₂：
$mgH=\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}$
${v}_{2}=\sqrt{2gh}=10\sqrt{2}$m/s
（3）小球在O點(diǎn)的速度${v}_{2}=10\sqrt{2}m/s$
離開O點(diǎn)小球做平拋運(yùn)動：
水平方向：x=v₂t
豎直方向：$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
且有：x²+y²=R²
解得：t=1s     再次落到軌道上的速度${v}_{3}=\sqrt{{v}_{2}^{2}+（gt）^{2}}=10\sqrt{3}m/s$
答：（1）高度H的大小為10m；
（2）小球到達(dá)CDO軌道的最高點(diǎn)O的速度為$10\sqrt{2}m/s$；
（3）求小球沿軌道運(yùn)動后再次落回軌道上時的速度大小為10$\sqrt{3}$m/s

點(diǎn)評 整個過程中物體的機(jī)械能守恒，離開O點(diǎn)小球做平拋運(yùn)動，直到落到軌道上，知道物體的運(yùn)動過程，根據(jù)物體的不同的運(yùn)動狀態(tài)，采用相應(yīng)的物理規(guī)律求解即可．