Question

12．如圖所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點O兩側(cè)的人的序號都記為n（n=1，2，3，…），每人只有一個沙袋，x＞0一側(cè)的沙袋質(zhì)量為12kg，x＜0一側(cè)的沙袋質(zhì)量為10kg．一質(zhì)量為M=70kg的小車以某初速度從原點出發(fā)向正x方向滑行．不計軌道阻力．當(dāng)車每經(jīng)過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，u的大小等于扔此袋之前瞬間車速大小的2n倍（n是此人的序號數(shù)）．
（1）空車出發(fā)后，車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？
（2）車上最終會有幾個沙袋？

Answer 1

分析 （1）采用虛設(shè)法依題意，空車出發(fā)后，車上堆積了幾個沙袋時就反向滑行，然后由動量守恒定律即可求出；
（2）再設(shè)向x負(fù)方向運行時虛設(shè)一中間狀態(tài)v=0，設(shè)拋n′個m′沙袋后車速為零，代入動量守恒定律的表達(dá)式即可求出．

解答 解：（1）在小車朝向x正方向滑行的過程中，設(shè)第（n-1）個沙袋扔到車上后車的速度為v_n-1，第n個沙袋扔到車上后車的速度為v_n，根據(jù)動量守恒定律：
[M+（n-1）m]v_n-1-2nm•v_n-1=（M+nm）v_n；
可得：v_n=$\frac{M-（n+1）m}{M+nm}$v_n-1
小車發(fā)生反向運動的條件是：v_n-1＞0，v_n＜0，即
 M-nm＞0
 M-（n+1）m＜0
代入M=70kg，m=12kg，要求n為整數(shù)，解得n=5
（2）車反向滑行至x＜0一側(cè)時，車（包括車上沙袋）的質(zhì)量為M+5m，在車向左滑行過程中，設(shè)第（n-1）個沙袋扔到車上后車的速度為v′_n-1，第n個沙袋扔到車上后車的速度為v′_n，根據(jù)動量守恒定律：
[M+5m+（n-1）m′]v′_n-1-2nm′v′_n-1=（M+5m+nm′）v′_n
即   v′_n=$\frac{M+5m-（n+1）m′}{M+5m+nm′}$v′_n-1
車不再向左滑行的條件是：v′_n-1＞0，v′_n≤0，即：
 M+5m-nm′＞0
 M+5m-（n+1）m′≤0
其中 m′=10kg，可得 12≤n＜13
當(dāng)扔了12個沙袋時，車速為0，車停止滑行，此時車上共有沙袋 5+12=17個
答：（1）空車出發(fā)后，車上堆積了5個沙袋時車就反向滑行．
（2）車上最終會有17個沙袋．

點評 本題的關(guān)鍵是選取研究對象并尋找反向的條件．車反向的條件是由速度大于零變到速度小于零，而在本題解的過程中，用“虛設(shè)法“虛設(shè)了臨界狀態(tài)速度等于零，抓住這一臨界狀態(tài)并合理選取研究對象；把車和（n-1）個扔到車上的沙袋及第n個要扔到車上的沙袋作為一個系統(tǒng)，是正確解答該類運動方向發(fā)生變化問題的關(guān)鍵．本題也可不設(shè)速度為零的臨界狀態(tài)，而用v_n-1＞0和v_n＜0討論分析．