Question

2．如圖，在豎直平面內，半徑為R的半圓形軌道CDE與水平軌道AC均光滑，且相切于C點．水平軌道AC上有一輕質彈簧，彈簧左端連接在固定的擋板上，彈簧自由端B與C點的距離為4R．現用一個小球將彈簧壓縮（不栓接），當彈簧的彈性勢能為E_P1時，將小球由靜止釋放，小球恰好能通過半圓形軌道的最高點E；之后再次用該小球壓縮彈簧，當彈簧的彈性勢能為E_P2時，將小球由靜止釋放，小球經過BCDE軌道拋出后恰好落在B點，彈簧始終處在彈性限度內，求：
（1）第一次壓縮彈簧，釋放小球后，小球到達最高點E時的速度大��；
（2）彈性勢能E_P1與E_P2之比．

Answer 1

分析 （1）第一次壓縮彈簧時，小球恰好通過E點，在E點，由重力充當向心力，可求得E點的速度．
（2）第一次壓縮彈簧時：由機械能守恒定律表示出壓縮時彈簧的彈性勢能．第二次壓縮彈簧時，小球離開E點做平拋運動，由分運動的規(guī)律求出小球通過E點的速度，再由機械能守恒定律出壓縮時彈簧的彈性勢能．再求彈性勢能E_p1與E_p2之比．

解答 解：（1）第一次壓縮彈簧，設小球在最高點E時的速度為v₁，由臨界條件可知：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
得：v₁=$\sqrt{gR}$  
（2）第一次壓縮釋放小球后，由機械能守恒定律可得：
E_p1=mg×2R+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
以上幾式聯(lián)立解得：E_p1=$\frac{5}{2}$mgR  
第二次壓縮時小球通過最高點E時的速度為v₂，由機械能守恒定律可得：
E_p2=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
球從E點開始做平拋運動，由平拋運動規(guī)律得：
4R=v₂t，R=$\frac{1}{2}$gt²
解得 v₂=2$\sqrt{gR}$   E_p2=4mgR   
則 E_P1：E_P2=5：8     
答：（1）第一次壓縮彈簧，釋放小球后，小球到達最高點E時的速度大小是$\sqrt{gR}$；
（2）彈性勢能E_P1與E_P2之比5：8．

點評 本題是機械能守恒定律、向心力與平拋運動的綜合應用．利用機械能守恒定律的優(yōu)點在于不用分析物體運動過程的細節(jié)，只關心初末狀態(tài)即可，但要分析能量是如何轉化的．