Question

9．如圖所示，裝置BO′O可繞豎直軸OO′轉(zhuǎn)動，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m=1kg，細(xì)線AC 長L=1m，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平和豎直距離相等．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，結(jié)果可用根式表達(dá)）
（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω₁，細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°，求角速度ω₁的大��；
（2）若裝置以ω₂勻速轉(zhuǎn)動時，細(xì)線AB剛好豎直且張力為零，求此時角速度ω₂的大�。�

Answer 1

分析 （1）由靜止時受力平衡求得細(xì)線AB上的張力，進(jìn)而求得勻速轉(zhuǎn)動時的向心力，從而求得加速度；
（2）由幾何關(guān)系求得半徑，進(jìn)而根據(jù)受力求得向心力，從而求得加速度．

解答 解：（1）細(xì)線AB上張力恰為零時有：小球所受合外力為mgtan37°，應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mgtan37°=m{{ω}_{1}}^{2}Lsin37°$，所以，${ω}_{1}=\sqrt{\frac{mgtan37°}{mLsin37°}}=\sqrt{\frac{g}{Lcos37°}}=\sqrt{\frac{10}{1×0.8}}rad/s$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}rad/s$；
（2）裝置靜止時細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平和豎直距離相等，所以，B點(diǎn)到OO′的距離為d=Lcos37°=0.8m；
若裝置以ω₂勻速轉(zhuǎn)動時，細(xì)線AB剛好豎直且張力為零，則細(xì)線與OO′之間的夾角為θ，那么，$sinθ=\fracddg0tr0{L}=0.8$，
所以，此時合外力F=mgtanθ，應(yīng)用牛頓第二定律可得：$F=mgtanθ=m{{ω}_{2}}^{2}d$，
所以，${ω}_{2}=\sqrt{\frac{mgtanθ}{md}}=\sqrt{\frac{gtanθ}zqpsdmx}=\sqrt{\frac{10×\frac{4}{3}}{0.8}}rad/s$=$\frac{10\sqrt{6}}{6}rad/s$；
答：（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω₁，細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°，則角速度ω₁的大小為$\frac{5\sqrt{2}}{2}rad/s$；
（2）若裝置以ω₂勻速轉(zhuǎn)動時，細(xì)線AB剛好豎直且張力為零，則此時角速度ω₂的大小為$\frac{10\sqrt{6}}{6}rad/s$．

點(diǎn)評 在求解勻速圓周運(yùn)動的相關(guān)物理量時，一般根據(jù)受力分析求得合外力，然后求得向心力，再利用向心力公式求解速度、半徑、周期等物理量．