Question

15．如圖甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾斜直軌道AB和圓軌道BCD組成，AB和BCD相切于B點，CD連線是圓軌道豎直方向的直徑（C，D為圓軌道的最低點和最高點），且∠BOC=θ=37°，圓軌道直徑d為0.4m．可視為質(zhì)點，質(zhì)量m=0.1kg的小滑塊從軌道AB上高H處的某點由靜止滑下，（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）求：

（1）剛好能通過圓軌道最高點D的高度H；
（2）若用壓力傳感器測出滑塊經(jīng)過圓軌道最高點D時對軌道的壓力為F，求出壓力F與高度H的關(guān)系式，并在圖乙中繪制出二者的關(guān)系圖象．
（3）通過計算判斷是否存在某個H值，使得滑塊經(jīng)過最高點D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的點．

Answer 1

分析 （1）滑塊在圓軌道上做圓周運動，應(yīng)用牛頓第二定律與 機(jī)械能守恒定律可以求出高度．
（2）應(yīng)用牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律求出H的表達(dá)式，然后作出圖象．
（3）滑塊離開D后做平拋運動，應(yīng)用平拋運動規(guī)律和幾何關(guān)系分析答題．

解答 解：（1）滑塊從A運動到D的過程，由機(jī)械能守恒得：$mg（{H_1}-d）=\frac{1}{2}m{v_{D1}}^2$
且在D點滿足：$mg=m\frac{{{v_{D1}}^2}}{R}$   得：${v_{D1}}=\sqrt{2}m/s$，${H_1}=\frac{5}{4}d=0.5m$
（2）在D點滿足$F+mg=m\frac{{{v_D}^2}}{R}$
滑塊從A運動到D的過程，由機(jī)械能守恒得：$mg（H-d）=\frac{1}{2}m{v_D}^2$
得：F=10H-5，則F-H圖象如圖所示：

（3）假設(shè)滑塊經(jīng)過最高點D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的E點（如圖所示）
從D到E過程滑塊做平拋運動，則有：$OE=\frac{{\fracztvhpbf{2}}}{sin37°}$
又  OE=v_D2t，$\fracn5ht53p{2}=\frac{1}{2}g{t^2}$
得到：${v_{D2}}=\frac{5}{3}m/s$
而滑塊過D點的臨界速度為：${v_{D1}}=\sqrt{2}m/s$
由于：v_D2＞v_D1所以存在一個H值，使得滑塊經(jīng)過最高點D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的點
滑塊從A運動到D的過程，由機(jī)械能守恒得：$mg（H-d）=\frac{1}{2}m{v_D}^2$
得到：$H=\frac{97}{18}m≈0.54m$

答：
（1）剛好能通過圓軌道最高點D的高度H是0.5m．
（2）壓力F與高度H的關(guān)系式為 F=10H-5，F(xiàn)-H圖象如圖所示．
（3）存在，且H為0.54m．

點評 本題考查了牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，分析清楚物體運動過程，關(guān)鍵要把握圓周運動的臨界條件，應(yīng)用牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律即可正確解題．