Question

12．若有一顆行星，其質(zhì)量為地球的p倍，半徑為地球的q倍，則（　�。�

• A． 該行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{p}{{q}^{2}}$倍
• B． 物體分別在兩行星表面附近同高度以相同初速度沿水平方向拋出，水平位移之比為$\sqrt{{pq}^{3}}$倍
• C． 該行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\sqrt{\frac{p}{q}}$倍
• D． 衛(wèi)星分別在兩行星表面附近環(huán)繞一周所用時間之比為$\sqrt{\frac{{q}^{3}}{p}}$倍

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力求出重力加速度；根據(jù)平拋運動的公式求出水平位移；根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得第一宇宙速度的表達式，再根據(jù)質(zhì)量和半徑關(guān)系求行星的第一宇宙速度．根據(jù)萬有引力提供向心力求出周期．

解答 解：令地球質(zhì)量為M，半徑為R，則行星的質(zhì)量為pM，半徑為qR；
A、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$．
同理g′=$\frac{pGM}{{q}^{2}{R}^{2}}$
所以：$\frac{g′}{g}=\frac{p}{{q}^{2}}$，即重力加速度是地球的$\frac{p}{{q}^{2}}$倍．故A正確；
B、做平拋運動的物體運動的時間：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
平拋運動的位移：x=${v}_{0}t={v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
所以：物體分別在兩行星表面附近同高度以相同初速度沿水平方向拋出，水平位移之比為：
$\frac{x′}{x}=\sqrt{\frac{g}{g′}}$=$\sqrt{\frac{{q}^{2}}{p}}$．故B錯誤；
C、第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的繞行速度，根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得地球第一宇宙速度表達式為v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
同理行星的第一宇宙速度表達式為：v$′=\sqrt{\frac{GPM}{qR}}=\sqrt{\frac{P}{q}}•\sqrt{\frac{GM}{R}}$
所以：$\frac{v′}{v}=\sqrt{\frac{p}{q}}$．故C正確；
D、根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
可得周期的表達式：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
所以：$\frac{T′}{T}=\sqrt{\frac{{q}^{3}}{p}}$
衛(wèi)星分別在兩行星表面附近環(huán)繞一周所用時間之比為$\sqrt{\frac{{q}^{3}}{p}}$倍．故D正確．
故選：ACD

點評 本題要掌握第一宇宙速度的定義，正確利用萬有引力公式列出第一宇宙速度的表達式是正確解題的關(guān)鍵．