Question

14．如圖所示，光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點(diǎn)，BC右端連接內(nèi)壁光滑、半徑為r的$\frac{1}{4}$細(xì)圓管CD，管口D端正下方豎直光滑圓管內(nèi)直立一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧，輕彈簧一端固定，另一端恰好與管口D端齊平．質(zhì)量為m的小球從曲面上A點(diǎn)由靜止開始下滑，AB豎直高度為2r，BC的長度為3r，進(jìn)入管口C端時與圓管恰好無作用力，通過CD后壓縮彈簧（始終在彈性限度內(nèi)）．若當(dāng)?shù)刂亓�加速度為g，求：
（1）小球達(dá)到B點(diǎn)時的速度大小v_B；
（2）BC段的動摩擦因數(shù)μ；
（3）通過計(jì)算說明小球最終停在何處．

Answer 1

分析 （1）A到B的過程中只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律或動能定理求出小球到達(dá)B點(diǎn)的速度大小．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出小球在C點(diǎn)時的速度．從A到B，根據(jù)動能定理求出BC段的動摩擦因數(shù)μ．
（3）由于BC段有摩擦，最終小球由于機(jī)械能不斷減小而停止運(yùn)動，對整個過程，運(yùn)用能量守恒求出小球在BC上滑行的總路程，從而確定最終停止的位置．

解答 解：（1）從A到B，根據(jù)動能定理有：mg•2r=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得  v_B=2$\sqrt{gr}$                                              
（2）由于進(jìn)入管口C端時與圓管恰好無作用力，即只由重力提供向心力
即 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
從B到C，由動能定理得：-μmg•3r=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：μ=0.5                      
（3）根據(jù)能量守恒，從A點(diǎn)到最終有
 mg•2r=μmgs                  
解得小球在BC上滑行的總路程 s=4r                                                  
因此小球最終停在C點(diǎn)左邊r處（或B點(diǎn)右邊2r處）．              
答：
（1）小球達(dá)到B點(diǎn)時的速度大小v_B是2$\sqrt{gr}$．   
（2）BC段的動摩擦因數(shù)μ是0.5；
（3）小球最終停在C點(diǎn)左邊r處（或B點(diǎn)右邊2r處）．

點(diǎn)評 本題綜合運(yùn)用了機(jī)械能守恒定律、動能定理、功能關(guān)系以及牛頓第二定律，關(guān)鍵要靈活選擇研究的過程，準(zhǔn)確把握圓周運(yùn)動的臨界條件．