Question

6．類比法經(jīng)常用到科學(xué)研究中．科學(xué)家在探索未知領(lǐng)域的規(guī)律時(shí)，常常將在未知新領(lǐng)域?qū)嶒?yàn)中得到的測量結(jié)果和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與已知的物理規(guī)律作類比，從而推測出未知領(lǐng)域可能存在的規(guī)律．然后再通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)，以確定類比得到的結(jié)論是否正確．
經(jīng)典物理告訴我們，若規(guī)定相距無窮遠(yuǎn)時(shí)引力勢能為0，則兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間引力勢能的表達(dá)式為E_P=-G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{r}$，其中G為引力常量，m₁、m₂為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，r為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離．
（1）把電荷之間相互作用的力及電勢能與萬有引力及引力勢能作類比，我們可以聯(lián)想到電荷之間相互作用的力及電勢能的規(guī)律．在真空中有帶電荷量分別為+q₁和-q₂的兩個(gè)點(diǎn)電荷，若取它們相距無窮遠(yuǎn)時(shí)電勢能為零，已知靜電力常量為k，請(qǐng)寫出當(dāng)它們之間的距離為r時(shí)相互作用的電勢能的表達(dá)式．
（2）科學(xué)家在研究頂夸克性質(zhì)的過程中，發(fā)現(xiàn)了正反頂夸克之間的強(qiáng)相互作用勢能也有與引力勢能類似的規(guī)律，根據(jù)實(shí)驗(yàn)測定，正反頂夸克之間的強(qiáng)相互作用勢能可表示為E_P=-$\frac{A}{r}$，其中A是已知數(shù)值為正的常量，r為正反頂夸克間的距離．請(qǐng)根據(jù)上述信息，推測正反頂夸克之間強(qiáng)相互作用力大小的表達(dá)式（用A和r表示）．
（3）如果正反頂夸克在彼此間相互作用下繞它們連線的中點(diǎn)做穩(wěn)定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若正反頂夸克系統(tǒng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期比正反頂夸克本身的壽命小得多，則一對(duì)正反頂夸克可視為一個(gè)處于“束縛狀態(tài)”的系統(tǒng)．已知正反頂夸克質(zhì)量都是m（不考慮相對(duì)論效應(yīng)），根據(jù)玻爾理論，如果正反頂夸克粒子系統(tǒng)處于束縛態(tài)，正反頂夸克粒子系統(tǒng)必須像氫原子一樣滿足的量子化條件為：mv_nr_n=n$\frac{h}{2π}$，n=1，2，3…
式中n稱為量子數(shù)，可取整數(shù)值1，2，3，…，h為普朗克常量，r_n為系統(tǒng)處于量子數(shù)為n的狀態(tài)時(shí)正反頂夸克之間的距離，v_n是系統(tǒng)處于該狀態(tài)時(shí)正反頂夸克做圓周運(yùn)動(dòng)的速率．
若實(shí)驗(yàn)測得正反頂夸克的壽命為τ=0.40×10^-24s，并且已知組合常數(shù)$\frac{{h}^{3}}{{A}^{2}m}$=3.6×10^-23s，其中A為（2）中的常數(shù)．根據(jù)已知條件在以上模型中通過計(jì)算判斷，正反頂夸克能否構(gòu)成一個(gè)處在束縛狀態(tài)的系統(tǒng)？

Answer 1

分析 （1）因?yàn)檎婵罩械狞c(diǎn)電荷之間的相互作用力與萬有引力的規(guī)律相似，則引力勢能的表達(dá)式相似，由此分析．
（2）類比引力勢能公式和強(qiáng)相互作用勢能公式，可以推導(dǎo)正反頂夸克之間強(qiáng)相互作用力表達(dá)式；
（3）設(shè)基態(tài)時(shí)頂夸克粒子的線速度大小為v₁，根據(jù)牛頓定律和玻爾理論列方程求解粒子運(yùn)動(dòng)周期，根據(jù)周期關(guān)系判斷正反頂夸克的束縛態(tài)是否可能存在．

解答 解：（1）因?yàn)檎婵罩械狞c(diǎn)電荷之間的相互作用力的F_電=k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{{r}^{2}}$，這與萬有引力的規(guī)律F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$相似，且都具有做功與路徑無關(guān)的特點(diǎn)．
在規(guī)定無窮遠(yuǎn)處引力勢能為零的情況下，在物體由無窮遠(yuǎn)到相距為r的過程中，引力做正功，引力勢能減小，所以引力勢能為負(fù)值．同樣，兩個(gè)帶異號(hào)電性的點(diǎn)電荷由無窮遠(yuǎn)到相距為r的過程中，靜電力做正功，電勢能減小，所以電勢能為負(fù)值．
在真空中有帶電荷量分別為+q₁和-q₂的兩個(gè)點(diǎn)電荷，當(dāng)它們之間的距離為r時(shí)相互作用的電勢能的表達(dá)式為E_電=-k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{r}$．
（2）類比引力勢能公式和強(qiáng)相互作用勢能公式，可知強(qiáng)相互作用力為引力．
質(zhì)點(diǎn)間引力表達(dá)式為F=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，類比可知，正反頂夸克之間強(qiáng)相互作用力表達(dá)式為：F=$\frac{A}{{r}^{2}}$；
（3）設(shè)基態(tài)時(shí)頂夸克粒子的線速度大小為v₁，各自的半徑都是$\frac{1}{2}{r}_{1}$，根據(jù)牛頓定律：$\frac{A}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{\frac{1}{2}{r}_{1}}$
基態(tài)時(shí)n=1，根據(jù)玻爾理論：mv₁r₁=$\frac{h}{2π}$，
聯(lián)立上述二式可得：${r}_{1}=\frac{{h}^{2}}{2{π}^{2}Am}$
根據(jù)牛頓定律$\frac{A}{{r}_{1}^{2}}=m•\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}•\frac{1}{2}{r}_{1}$
聯(lián)立④⑤可得T₁=$\frac{{h}^{3}}{2{π}^{2}{A}^{2}m}$
代入數(shù)據(jù)，解得 T₁=1.8×10^-24s
由此可見τ＜T₁，
因?yàn)樘幱诨鶓B(tài)時(shí)，正反頂夸克做圓周運(yùn)動(dòng)的周期比所有的激發(fā)態(tài)的周期都短，所以在該模型中正反頂夸克做圓周運(yùn)動(dòng)的周期一定大于正反頂夸克的壽命，故正反頂夸克的束縛態(tài)是不可能存在的．
答：（1）它們之間的距離為r時(shí)相互作用的電勢能的表達(dá)式為E_電=-k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{r}$．
（2）正反頂夸克之間強(qiáng)相互作用力大小的表達(dá)式為F=$\frac{A}{{r}^{2}}$．
（3）根據(jù)已知條件推測，正反頂夸克的束縛態(tài)是不可能存在的．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是通過萬有引力定律和庫侖定律的表達(dá)式相似進(jìn)行類比分析，得到引力勢能和分子勢能的相似表達(dá)式；進(jìn)一步根據(jù)牛頓第二定律和波爾理論進(jìn)行推導(dǎo)延伸，突出表現(xiàn)類比法的應(yīng)用．