Question

18．如圖所示的是大型露天游樂(lè)園中的過(guò)山車(chē)．把過(guò)山車(chē)從很高的軌道一側(cè)的頂端由靜止釋放，它就向下運(yùn)動(dòng)，到達(dá)底部后又沖上環(huán)形軌道，使乘客頭朝下通過(guò)最高點(diǎn)，再沿環(huán)形軌道到底部，最后沖上軌道另一端．我們抽象成右圖模型，小球從高h(yuǎn)處滾下，進(jìn)入圓形軌道后沿軌道運(yùn)動(dòng)．若環(huán)形軌道的半徑為R=6.4m，過(guò)山車(chē)及乘客的總質(zhì)量為1000kg，不考慮摩擦等阻力，重力加速度取g=10m/s²．
（1）你認(rèn)為過(guò)山車(chē)至少要從h為多高的軌道頂端釋放才能順利通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)？
（2）恰以這個(gè)高度釋放的過(guò)山車(chē)經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是多大？

Answer 1

分析 （1）對(duì)過(guò)山車(chē)在最高點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律求得速度范圍，然后對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用機(jī)械能守恒求得高度范圍；
（2）通過(guò)機(jī)械能守恒求得在最低點(diǎn)的速度，然后由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力．

解答 解：（1）要順利通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，那么在最高點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：$\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}≥mg$；
過(guò)山車(chē)運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}≥\frac{1}{2}mgR$，所以，$h≥\frac{5}{2}R=16m$；
（2）恰以這個(gè)高度釋放的過(guò)山車(chē)經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，應(yīng)用機(jī)械能守恒可得：$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$；
那么，對(duì)過(guò)山車(chē)在最低點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：過(guò)山車(chē)受到的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{R}=mg+\frac{2h}{R}mg=6mg=6×1{0}^{4}N$；
故由牛頓第三定律可得：恰以這個(gè)高度釋放的過(guò)山車(chē)經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是6×10⁴N；
答：（1）過(guò)山車(chē)至少要從h為16m的軌道頂端釋放才能順利通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)；
（2）恰以這個(gè)高度釋放的過(guò)山車(chē)經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是6×10⁴N．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．