Question

1．鈾238的半衰期是4.5×10⁹年，假如一塊礦石中含有1kg鈾238，經45億年后還剩多少鈾238？假設發(fā)生衰變的鈾238都變成了鉛206，礦石中含有多少鉛？這時鈾鉛比例是多少？寫出礦石中鈾、鉛比例隨時間變化的一般關系式，并說明能否根據(jù)這種鈾鉛比例判斷出礦石的年齡．

Answer 1

分析 根據(jù)總質量（m₀）、衰變質量（m）、衰變時間（t），半衰期（T）之間關系式，代入數(shù)據(jù)可正確解答還剩多少鈾；
減小的²³⁸U，并非全部變?yōu)?SUP>206Pb，還有其它粒子產生，根據(jù)²³⁸U和²⁰⁶Pb質量數(shù)之間的關系可正確解答．
根據(jù)前兩問計算結果可直接回答．

解答 解：設總質量（m₀）、剩余質量（m）、衰變時間（t），半衰期（T）之間關系為：
$m={m}_{0}（\frac{1}{2}）^{（\frac{t}{T}）}$…①
將m₀=1kg，T₀=45億年，t=45億年，代人解得：
$m=\frac{{m}_{0}}{2}=0.5kg$
故還剩余0.5 kg²³⁸U．
在衰變的過程中礦石生成的鉛的原子核的個數(shù)與已經衰變的鈾的原子核的個數(shù)相等，所以已經衰變的0.5kg鈾轉化為鉛：
$m′=（{m}_{0}-m）×（\frac{206}{238}）=0.5×\frac{206}{238}=0.433kg$
這時鈾鉛比例是：$\frac{m}{m′}=\frac{0.5}{0.433}$
礦石中鈾、鉛比例隨時間變化的一般關系式：
$\frac{m}{m′}=\frac{m}{（{m}_{0}-m）×\frac{206}{238}}$  ②
聯(lián)立①②得：$\frac{m}{m′}$=$\frac{119×（\frac{1}{2}）^{\frac{t}{T}}}{103×[1-（\frac{1}{2}）^{\frac{t}{T}}]}$③
由③可知，在測量出礦石中鈾、鉛比例后，即可求出礦石的年齡．
答：經45億年后還剩0.5kg鈾238，假設發(fā)生衰變的鈾238都變成了鉛206，礦石中含有0.433kg鉛；這時鈾鉛比例是$\frac{1}{0.433}$；礦石中鈾、鉛比例隨時間變化的一般關系式為：$\frac{m}{m′}$=$\frac{119×（\frac{1}{2}）^{\frac{t}{T}}}{103×[1-（\frac{1}{2}）^{\frac{t}{T}}]}$，能根據(jù)這種鈾鉛比例判斷出礦石的年齡．

點評 解答本題的關鍵是熟練掌握有關半衰期的運算，弄清總質量、衰變質量、衰變時間，半衰期之間關系．