Question

5．在考古中為了測定古物的年代，可通過測定古物中碳14與碳12的比例，其物理過程可簡化為 如圖所示，碳14與碳12經(jīng)電離后的原子核帶電量都為q，從容器A下方的小孔S不斷飄入電壓為U的加 速電場，經(jīng)過S正下方的小孔O后，沿SO方向垂直 進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場中，最后打在相機(jī)底片D上并被吸收．已知D與O在同一平面內(nèi)，其中碳12在底片D上的落點(diǎn)到O的距離為x，不考慮粒子重力和粒子在小孔S處的初速度． 
（1）求碳12的比荷
（2）由于粒子間存在相互作用，從O進(jìn)入磁場的粒子在紙面內(nèi)將發(fā)生不同程度的微小偏轉(zhuǎn) （粒子進(jìn)入磁場速度大小的變化可忽略），其方向與豎直方向的最大偏角為α，求碳12在底片D上的落點(diǎn)到O的距離的范圍；
（3）實(shí)際上，加速電場的電壓也會發(fā)生微小變化（設(shè)電壓變化范圍為U±△U），從而導(dǎo)致進(jìn)入磁場的粒子的速度大小也有所不同．現(xiàn)從容器A中飄入碳14與碳12最終均能打在底片D上，若要使這兩種粒子的落點(diǎn)區(qū)域不重疊，則△U應(yīng)滿足什么條件？（粒子進(jìn)入磁場時的速 度方向與豎直方向的最大偏角仍為α）

Answer 1

分析 （1）設(shè)離子經(jīng)電場加速度時的速度為v，由動能定理及向心力公式即可求解；
（2）根據(jù)半徑公式求出粒子在磁場中運(yùn)動的半徑，根據(jù)幾何關(guān)系，確定出粒子在D上的落點(diǎn)與O的距離范圍；
（3）根據(jù)最大加速電壓U+△U，得出落到O點(diǎn)的最大距離，以及根據(jù)最小加速電壓得出落到O點(diǎn)的最小距離，要使落點(diǎn)區(qū)域不重疊，則打中底片時離O點(diǎn)的距離應(yīng)需滿足：碳14的最近距離大于碳12的最遠(yuǎn)距離，從而求出△U應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）加速電場，根據(jù)動能定理可得：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$①
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$②
根據(jù)幾何關(guān)系可得：x=2r③
聯(lián)立①②③式可得：$\frac{q}{m}$=$\frac{8U}{{B}^{2}{x}^{2}}$④
（2）粒子在磁場中圓運(yùn)動半徑r=$\frac{\sqrt{2qmU}}{qB}$=$\frac{x}{2}$
由圖象可知：粒子左偏α角（軌跡圓心為O₁）或右偏α角（軌跡圓心為O₂）
落點(diǎn)到O的距離相等，均為：L=2Rcosθ
故θ=0°時落點(diǎn)到O的距離最大：L_max=2R=x
故θ=α?xí)r落點(diǎn)到O的距離最�。篖_min=2Rcosα=xcosα
所以：xcosα≤L≤x
（3）聯(lián)立①②可得：r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
設(shè)碳12的質(zhì)量為m₁，碳14的質(zhì)量為m₂，并且：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{12}{14}$=$\frac{6}{7}$，
根據(jù)r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$可知：
碳12的運(yùn)動半徑：r₁=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{1}U}{q}}$
碳12的最大半徑：r_1max=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{1}（U+△U）}{q}}$
同理：
碳14的運(yùn)動半徑：r₂=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{2}U}{q}}$
碳14的最小半徑：r_2min=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{2}（U-△U）}{q}}$
若要使這兩種粒子的落點(diǎn)區(qū)域不重疊，打中底片時離O點(diǎn)的距離應(yīng)需滿足：碳14的最近距離大于碳12的最遠(yuǎn)距離
即：2r_1max＜2r_2mincosα
聯(lián)立解得：△U＜$\frac{{m}_{2}co{s}^{2}α-{m}_{1}}{{m}_{2}co{s}^{2}α+{m}_{1}}•U$=$\frac{7co{s}^{2}α-6}{7co{s}^{2}α+6}•U$
答：（1）碳12的比荷為$\frac{8U}{{B}^{2}{x}^{2}}$；
（2）碳12在底片D上的落點(diǎn)到O的距離的范圍為xcosα≤L≤x；
（3）若要使這兩種粒子的落點(diǎn)區(qū)域不重疊，則△U應(yīng)滿足△U＜$\frac{7co{s}^{2}α-6}{7co{s}^{2}α+6}•U$．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動，加速場運(yùn)用動能定理，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，第三問難點(diǎn)在于找出粒子不重疊的條件，即：打中底片時離O點(diǎn)的距離應(yīng)需滿足：碳14的最近距離大于碳12的最遠(yuǎn)距離．