Question

15．如圖所示為常見的高速公路出口匝道，把AB段和CD段均簡化為直線，汽車均做勻減速直線運動，BC段按照四分之一的水平圓周分析，汽車在此段做勻速圓周運動，圓弧段限速v₀=36km/h，動摩擦因數(shù)μ=0.2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．已知AB段和CD段長度分別為200m和100m，汽車在出口的速度為v₁=108km/h．重力加速度g取l0m/s²．
（1）若轎車到達B點速度剛好為36km/h，求轎車在AB下坡段加速度的大小；
（2）為保證行車安全，車輪不打滑，求水平圓弧段BC半徑R的最小值；
（3）轎車恰好停在D點，則A點到D點的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勻變速直線運動的速度位移公式求解轎車在AB下坡段加速度的大��；
（2）汽車在BC段做圓周運動，靜摩擦力提供向心力，當靜摩擦力達最大值時，半徑R最�。�
（3）根據(jù)運動學公式求A點到D點的時間；

解答 解：${v}_{0}^{\;}=36km/h=10m/s$         ${v}_{1}^{\;}=108km/h=30m/s$
（1）對AB段勻減速直線運動有：${v}_{0}^{\;}-{v}_{1}^{2}=-2a{l}_{AB}^{\;}$
代入數(shù)據(jù)：$1{0}_{\;}^{2}-3{0}_{\;}^{2}=-2a×200$
解得$a=2m/{s}_{\;}^{2}$
（2）汽車在BC段做圓周運動，靜摩擦力提供向心力
${F}_{f}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
當靜摩擦力達最大靜摩擦力時，半徑R最小
$μmg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得$R=\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}=\frac{1{0}_{\;}^{2}}{0.2×10}=50m$
解得R≥50m，即最小半徑為50m
（3）設AB段時間為${t}_{1}^{\;}$，BC段時間為${t}_{2}^{\;}$，CD段時間為${t}_{3}^{\;}$，全程所用最短時間為t
${l}_{AB}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}$
$\frac{πR}{2}={v}_{0}^{\;}{t}_{2}^{\;}$
${l}_{CD}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{3}^{\;}$
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$
解得：t=37.85s
答：（1）若轎車到達B點速度剛好為36km/h，轎車在AB下坡段加速度的大小為$2m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）為保證行車安全，車輪不打滑，水平圓弧段BC半徑R的最小值為50m；
（3）轎車恰好停在D點，則A點到D點的時間37.85s

點評 本題是運動學與動力學綜合題，能結合物體的運動情況，靈活選擇運動學的公式形式是關鍵，當不涉及加速度而要求時間時，可用位移等于平均速度乘以時間來求．