Question

如圖（a），平行金屬板A和B間的距離為d，現(xiàn)在A、B板上加上如圖（b）所示的方波形電壓，t=0時(shí)A板比B板的電勢(shì)高，電壓的正向值為U₀，反向值也為U₀．現(xiàn)有由質(zhì)量為m的帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點(diǎn)O以平行于金屬板方向OO′的速度v₀=

3 qu0T

3dm

射入，所有粒子在AB間的飛行時(shí)間均為T，不計(jì)重力影響．求：
（1）粒子飛出電場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）粒子飛出電場(chǎng)時(shí)位置離O′點(diǎn)的距離范圍

Answer 1

（1）將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著平行于初速度方向和垂直于初速度的方向正交分解，在平行于初速度方向，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有
v_∥=v₀=

3 qu0T

3dm

在垂直于初速度方向，粒子在電場(chǎng)力的作用下做變速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛第二定律，有
a=

qE

m

=

qU0

md

任意時(shí)刻進(jìn)入后，穿過(guò)電場(chǎng)的時(shí)間都為T，故
v⊥=a?

2

3

T-a?

1

3

T=

1

3

aT
故
v⊥=

qU0T

3md

故飛出電場(chǎng)時(shí)的速度為v=

v 2∥ + v 2⊥

=

2qU0T

3md

．
（2）粒子在t=0、T、2T…時(shí)刻進(jìn)入時(shí)，O′位置偏向最下端，此時(shí)，在垂直電場(chǎng)方向，粒子先向下勻加速直線運(yùn)動(dòng)后向下勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，有
y1=[

1

2

?a?(

2T

3

)2]+[a?(

2T

3

)]?(

1

3

T)-

1

2

?a?(

1

3

T)2=

7qU0T2

18md2

粒子在t=

2T

3

、

2T

3

+T、

2T

3

+2T…時(shí)刻進(jìn)入時(shí)，O′位置偏向最上端，此時(shí)，在垂直電場(chǎng)方向，粒子先向上勻加速直線運(yùn)動(dòng)后向上勻減速直線運(yùn)動(dòng)最后向下勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，有
y2=[

1

2

?a?(

1

3

T)2]+[a?(

1

3

T)]?(

2T

3

)-

1

2

?a?(

2T

3

)2=

qU0T2

18md2

故粒子飛出電場(chǎng)時(shí)位置在O′點(diǎn)的上方

qU0T2

18md2

到下方

7qU0T2

18md2

范圍內(nèi)．