Question

13．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系的第二象限內(nèi)存在水平向左的勻強(qiáng)電場和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球從A點(diǎn)以初速度v₀沿直線AO運(yùn)動，AO與x軸負(fù)方向成37°角，在y軸與MN之間的區(qū)域Ⅰ內(nèi)加一電場強(qiáng)度最小的勻強(qiáng)電場后，可使小球繼續(xù)做直線運(yùn)動到MN上的C點(diǎn)，MN與PQ之間區(qū)域Ⅱ內(nèi)存在寬度為d的豎直向上勻強(qiáng)電場和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，小球在區(qū)域Ⅱ內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動并恰好不能從右邊界飛出，已知小球在C點(diǎn)的速度大小為2v₀，重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）第二象限內(nèi)電場強(qiáng)度E₁的大小和磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小；
（2）區(qū)域Ⅰ內(nèi)最小電場強(qiáng)度E₂的大小和方向；
（3）區(qū)域Ⅱ內(nèi)電場強(qiáng)度E₃的大小和磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大�。�

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在第二象限受三個(gè)力作用做直線運(yùn)動，則三力平衡．由平衡條件在水平方向和豎直方向的合力為零，可以求得第二象限的電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）通過O點(diǎn)后，仍做直線運(yùn)動，則電場力與重力的合力沿直線方向，要使電場強(qiáng)度最小，則電場力與直線垂直．畫出受力圖，能夠求出最小的電場強(qiáng)度．
（3）進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后做勻速圓周運(yùn)動，顯然重力與電場力抵消，在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，列出相應(yīng)的半徑式，就能求出該區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）帶電小球在第二象限內(nèi)受重力、電場力和洛倫茲力做直線運(yùn)動，三力滿足如圖所示關(guān)系且小球只能做勻速直線運(yùn)動，由圖知：
  $tan37°=\frac{q{E}_{2}}{mg}$   得：${E}_{2}=\frac{3mg}{4q}$
  $cos37°=\frac{mg}{{B}_{1}q{v}_{0}}$
  得：${B}_{1}=\frac{5mg}{4q{v}_{0}}$
（2）區(qū)域Ⅰ中小球做直線運(yùn)動，電場強(qiáng)度最小，受力如圖所示（電場力方向與速度方向垂直），小球做勻加速直線運(yùn)動，
  由圖知：$cos37°=\frac{q{E}_{2}}{mg}$   得 ${E}_{2}=\frac{4mg}{5q}$   
  方向與x軸正方向成53° 向上．
（3）小球在區(qū)域Ⅱ內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，所以：
  mg=qE₃   得${E}_{3}=\frac{mg}{q}$
  因?yàn)樾∏蚯『貌粡挠疫吔绱┏觯�小球運(yùn)動軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系得：$r=\frac{5}{8}d$ 
  由洛侖茲力提供向心力知：${B}_{2}q2{v}_{0}=m\frac{（2{v}_{0}）^{2}}{r}$  
  聯(lián)立得  ${B}_{2}=\frac{16m{v}_{0}}{5qd}$
答：（1）第二象限內(nèi)電場強(qiáng)度E₁的大小是$\frac{3mg}{4q}$、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小是$\frac{5mg}{4q{v}_{0}}$．
（2）區(qū)域Ⅰ內(nèi)最小電場強(qiáng)度E₂的大小為$\frac{4mg}{5q}$和方向與x軸正方向成53° 向上．
（3）區(qū)域Ⅱ內(nèi)電場強(qiáng)度E₃的大小和磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小$\frac{16m{v}_{0}}{5qd}$．

點(diǎn)評 本題三問題干涉及比較過程含蓄，考察三個(gè)問題：①第一問是三力平衡，由平衡條件可得到結(jié)果．②第二問涉及做直線運(yùn)動的條件，是合力與速度方向在一條直線上，求另一個(gè)的最小值，只有當(dāng)該力與速度方向垂直時(shí)最�。�③第三問是在復(fù)合場中做勻速圓周運(yùn)動，顯然兩個(gè)恒力相互抵消，只在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動．