Question

在“嫦娥探月”工程中，假設月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，飛船在半徑為4R的圓形軌道Ⅰ運動，到達軌道的A點點火變軌進入橢圓軌道Ⅱ，到達軌道的近月點B再次點火進入月球近月軌道Ⅲ繞月球作圓周運動．求：
（1）飛船在軌道Ⅰ上的運行速率；
（2）飛船在A點處點火后瞬間與點火前相比，速度是變大還是變��？
（3）飛船在軌道Ⅲ繞月球運行一周所需的時間．

Answer 1

分析：（1）主要考查圓周運動中向心力公式和萬有引力公式的變換，通過聯(lián)立多項公式獲得運行速率和常量的關系；
（2）當萬有引力剛好提供衛(wèi)星所需向心力時 衛(wèi)星正好可以做勻速圓周運動，若是供大于需 則衛(wèi)星做逐漸靠近圓心的運動，若是供小于需則衛(wèi)星做逐漸遠離圓心的運動．
（2）近月軌道可看做繞轉半徑為月球半徑的圓周，運用圓周運動規(guī)律即可解決．

解答：解：（1）設月球的質量為M，飛船的質量為m，飛船繞月運動速度為V，飛船繞月運動向心力為F，

GMm

(4R)2

=m

v2

4R

GMm

R2

=mg₀
解得：v=

1

2

g0R

（2）飛船在半徑為4R的圓形軌道Ⅰ運動，到達軌道的A點時點火變軌進入橢圓軌道Ⅱ是做逐漸靠近地心的運動，要實現這個運動必須萬有引力大于飛船所需向心力，所以應給飛船減速，減小所需的向心力．
（3）設飛船在軌道Ⅲ繞飛船在軌道月球運行一周所需的時間為T，此時重力充當向心力
     則mg₀=m

4π2

T2

R
T=2π

R g0

 故飛船在軌道Ⅲ繞月球運行一周所需的時間為2π

R g0

答：（1）飛船在軌道Ⅰ上的運行速率是

1

2

g0R

；
（2）飛船在A點處點火后瞬間與點火前相比是變小．
（3）飛船在軌道Ⅲ繞月球運行一周所需的時間是2π

R g0

．

點評：主要考查圓周運動中各種向心力公式的變換．注意題設條件的完整性．為中檔題