Question

2．如圖所示，半徑為R的半球形碗豎直固定，直徑AB水平，一質量為m的小球（可視為質點）由直徑AB上的某點以初速度v₀水平拋出，小球落進碗內與內壁碰撞，碰撞時速度大小為2$\sqrt{gR}$，結果小球剛好能回到拋出點，設碰撞過程中不損失機械能，重力加速度為g，則初速度v₀大小應為（　�。�

• A． $\sqrt{gR}$
• B． $\sqrt{2gR}$
• C． $\sqrt{3gR}$
• D． 2$\sqrt{gR}$

Answer 1

分析 球欲回到拋出點，與弧面的碰撞必須是垂直弧面的碰撞，根據平拋運動的規(guī)律和幾何關系求解拋出點距AB弧圓心O的距離．由平拋運動的規(guī)律求解小球與圓弧AB的內壁碰撞時的速度大�。�

解答 解：小球欲回到拋出點，與弧面的碰撞必須是垂直弧面的碰撞，即速度方向沿弧AB的半徑方向．設碰撞點和O的連線與水平夾角α，拋出點和碰撞點連線與水平夾角為β，如圖，則有：
由y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=Rsinα，
得：t=$\sqrt{\frac{2Rsinα}{g}}$
豎直方向的分速度為：${v}_{y}=gt=\sqrt{2gRsinα}$
水平方向的分速度為：${v}_{0}=\sqrt{（2\sqrt{gR}）^{2}-（\sqrt{2gRsinα}）^{2}}$=$\sqrt{4gR-2gRsinα}$
又：tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{gt}{{v}_{0}}$
而：$tanβ=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$
所以：tanα=2tanβ
所以物體沿水平方向的位移為：x=2Rcosα
又：x=v₀t
聯立以上的方程可得：${v}_{0}=\sqrt{3gR}$．故ABD錯誤，C正確．
故選：C

點評 該題中，由于拋出點的位置是不知道的，需要根據位移偏轉角的正切值與速度偏轉角的正切值之間的關系正確找到拋出點的位置，然后才能正確解答，對數學的知識要求較高，在解答的過程中要注意咀嚼、品味．