Question

4．利用探測器探測某行星，探測器在距行星表面高度為h₁的軌道上做勻速圓周運動時，測得周期為T₁；探測器在距行星表面高度為h₂的軌道上做勻速圓周運動時，測得周期為T₂，萬有引力常量為G，根據(jù)以上信息可求出（　�。�

• A． 該行星的質(zhì)量
• B． 該行星的密度
• C． 該行星的第一宇宙速度
• D． 探測器貼近星球表面飛行時星球?qū)λ�的引�?/td>

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力求出天體的質(zhì)量，結(jié)合天體的體積求出天體的密度．第一宇宙速度是衛(wèi)星在近地圓軌道上的環(huán)繞速度，重力等于萬有引力，萬有引力提供向心力，列式求解．

解答 解：A、先讓行星貼近該星球表面飛行，測得做圓周運動的周期為${T}_{1}^{\;}$，根據(jù)萬有引力提供向心力，得：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}R$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$…①
探測器在距行星表面高度為h的軌道上做勻速圓周運動時，根據(jù)萬有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}（R+h）$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$…②
聯(lián)立①②兩式即可求出行星的質(zhì)量M和行星的半徑R，故A正確；
B、行星的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{1}^{2}}$，可以求出行星的密度，故B正確；
C、根據(jù)萬有引力提供向心力，得第一宇宙速度$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，所以可以求出該行星的第一宇宙速度，故C正確；
D、由于不知道探測器的質(zhì)量，所以不可求出探測器貼近星球表面飛行時行星對它的引力，故D錯誤；
故選：ABC

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，結(jié)合軌道半徑和周期求解中心天體的質(zhì)量．