Question

8．如圖所示，一個板長為L，板間距離也是L的平行板電容器上極板帶正電，下極板帶負(fù)電．t=0時刻，有一對質(zhì)量均為m，帶電量分別為+q和-q的粒子從兩極板正中央平行極板以速度v₀射入，忽略兩粒子所受的重力及相互作用，-q粒子恰能從上極板邊緣飛出．
（1）求兩極板間的電場強度E的大小、-q粒子飛出極板時速度v的大小與方向．
（2）在極板右邊的空間里存在著垂直于紙面向里的勻強磁場，若+q粒子與-q粒子在磁場中恰好能相遇，磁感應(yīng)強度B多大？
（3）在上述條件下，如果只有-q粒子射入，它能否回到出發(fā)點？若能，它經(jīng)過多長時間回到出發(fā)點；若不能，求粒子自射入點至最終落點的時間．

Answer 1

分析 （1）極板間電場的方向由正極板指向負(fù)極板，根據(jù)粒子在電場中的類平拋運動的水平位移和偏轉(zhuǎn)位移可求解電場強度的大��；由動能定理可求粒子飛出電場的速度，飛出電場時速度的方向與初速度的方向間的夾角可用沿電場方向的分速度與初速度的比值來表示
（2）兩粒子進(jìn)入磁場后將做勻速圓周運動，有運動的對稱性可知，兩粒子在磁場中運動半徑相同，對心正碰點必是初速度所在直線與圓周的交點，由幾何關(guān)系找到粒子運動的半徑，利用半徑公式可得磁感應(yīng)強度的表達(dá)式．
（3）粒子先在電場中做平拋運動，在勻強磁場中做勻速圓周運動，最后又在電場中做類平拋運動，分別求出三段運動的時間，然后求和即可．

解答 解：（1）-q粒子做類平拋運動，在水平方向做勻速運動，在豎直方向做勻加速運動：
由題意知，電場方向從上極板指向下極板
對于-q粒子，做類平拋運動的沿電場方向的加速度為：a=$\frac{Eq}{m}$…①
粒子在電場中運動時間，t=$\frac{L}{{v}_{0}}$…②
設(shè)粒子沿電場方向位移為y，由于恰從上極板邊緣射出，則有
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{L}{2}$…③
由①②③得：
E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$…④
設(shè)粒子飛出板時水平速度為v_x，豎直速度為v_y，水平偏轉(zhuǎn)角為θ：v_x=v₀  ⑤
v_y=at=$\frac{qE}{m}•\frac{L}{{v}_{0}}$   ⑥，
則：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$   ⑦，
$v=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$   ⑧
由④⑤⑥⑦⑧式可得θ=45°，$v=\sqrt{2}{v}_{0}$  ⑨
（2）由于+q粒子在電場中向下偏轉(zhuǎn)，且運動軌跡與-q粒子對稱，它飛出下極板時速度大小、偏轉(zhuǎn)角和-q粒子相同，進(jìn)入磁場后它們做半徑相同的勻速圓周運動，軌跡如圖所示，

由幾何關(guān)系得：$R=\frac{\sqrt{2}}{2}L$    ⑩
洛侖茲力提供向心力：qvB=$\frac{m{v}^{2}}{r}$       
聯(lián)立得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$           
（3）粒子不能回到射入點，最終落在上極板上．
粒子在電場中運動的時間：t₁=$\frac{L}{{v}_{0}}$
粒子在磁場中運動的時間：${t}_{2}=\frac{270°}{360°}•T=\frac{3}{4}×\frac{2πR}{v}=\frac{3πL}{4{v}_{0}}$   
粒子回到電場后垂直于極板方向做勻加速直線運動，經(jīng)t₃到達(dá)上極板．
垂直極板方向的初速度：${v}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}v={v}_{0}$      
則有：$L={v}_{0}{t}_{3}+\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$
由③④解得：${t}_{3}=（\sqrt{3}-1）\frac{L}{{v}_{0}}$     
由可得粒子自射入到最終落點的時間：t=t₁+t₂+t₃
將以上數(shù)據(jù)代入得：t=$（\sqrt{3}+\frac{3}{4}π）\frac{L}{{v}_{0}}$
答：（1）兩極板間的電場強度E的大小是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$，-q粒子飛出極板時速度v的大小是$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向與水平方向之間的夾角是45°．
（2）在極板右邊的空間里存在著垂直于紙面向里的勻強磁場，若+q粒子與-q粒子在磁場中恰好能相遇，磁感應(yīng)強度B是$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（3）粒子不能回到射入點，最終落在上極板上，粒子自射入點至最終落點的時間是$（\sqrt{3}+\frac{3}{4}π）\frac{L}{{v}_{0}}$．

點評 帶電粒子在電場中運動分為加速和偏轉(zhuǎn)兩種類型，常運用動能定理和平拋運動規(guī)律求解，注意運算時要細(xì)心，而在勻強磁場中運動時，重要的是由運動徑跡利用幾何關(guān)系找到半徑的大小，由洛倫茲力提供向心力，利用牛頓第二定律求解即可．