8.如圖所示,一個(gè)板長(zhǎng)為L(zhǎng),板間距離也是L的平行板電容器上極板帶正電,下極板帶負(fù)電.t=0時(shí)刻,有一對(duì)質(zhì)量均為m,帶電量分別為+q和-q的粒子從兩極板正中央平行極板以速度v0射入,忽略兩粒子所受的重力及相互作用,-q粒子恰能從上極板邊緣飛出.
(1)求兩極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小、-q粒子飛出極板時(shí)速度v的大小與方向.
(2)在極板右邊的空間里存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),若+q粒子與-q粒子在磁場(chǎng)中恰好能相遇,磁感應(yīng)強(qiáng)度B多大?
(3)在上述條件下,如果只有-q粒子射入,它能否回到出發(fā)點(diǎn)?若能,它經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間回到出發(fā)點(diǎn);若不能,求粒子自射入點(diǎn)至最終落點(diǎn)的時(shí)間.

分析 (1)極板間電場(chǎng)的方向由正極板指向負(fù)極板,根據(jù)粒子在電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和偏轉(zhuǎn)位移可求解電場(chǎng)強(qiáng)度的大。挥蓜(dòng)能定理可求粒子飛出電場(chǎng)的速度,飛出電場(chǎng)時(shí)速度的方向與初速度的方向間的夾角可用沿電場(chǎng)方向的分速度與初速度的比值來(lái)表示
(2)兩粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后將做勻速圓周運(yùn)動(dòng),有運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知,兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑相同,對(duì)心正碰點(diǎn)必是初速度所在直線與圓周的交點(diǎn),由幾何關(guān)系找到粒子運(yùn)動(dòng)的半徑,利用半徑公式可得磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式.
(3)粒子先在電場(chǎng)中做平拋運(yùn)動(dòng),在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),最后又在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng),分別求出三段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,然后求和即可.

解答 解:(1)-q粒子做類平拋運(yùn)動(dòng),在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng),在豎直方向做勻加速運(yùn)動(dòng):
由題意知,電場(chǎng)方向從上極板指向下極板
對(duì)于-q粒子,做類平拋運(yùn)動(dòng)的沿電場(chǎng)方向的加速度為:a=$\frac{Eq}{m}$…①
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間,t=$\frac{L}{{v}_{0}}$…②
設(shè)粒子沿電場(chǎng)方向位移為y,由于恰從上極板邊緣射出,則有
y=$\frac{1}{2}$at2=$\frac{L}{2}$…③
由①②③得:
E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$…④
設(shè)粒子飛出板時(shí)水平速度為vx,豎直速度為vy,水平偏轉(zhuǎn)角為θ:vx=v0  ⑤
vy=at=$\frac{qE}{m}•\frac{L}{{v}_{0}}$   ⑥,
則:tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$   ⑦,
$v=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$   ⑧
由④⑤⑥⑦⑧式可得θ=45°,$v=\sqrt{2}{v}_{0}$  ⑨
(2)由于+q粒子在電場(chǎng)中向下偏轉(zhuǎn),且運(yùn)動(dòng)軌跡與-q粒子對(duì)稱,它飛出下極板時(shí)速度大小、偏轉(zhuǎn)角和-q粒子相同,進(jìn)入磁場(chǎng)后它們做半徑相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌跡如圖所示,

由幾何關(guān)系得:$R=\frac{\sqrt{2}}{2}L$    ⑩
洛侖茲力提供向心力:qvB=$\frac{m{v}^{2}}{r}$       
聯(lián)立得:B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$           
(3)粒子不能回到射入點(diǎn),最終落在上極板上.
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間:t1=$\frac{L}{{v}_{0}}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間:${t}_{2}=\frac{270°}{360°}•T=\frac{3}{4}×\frac{2πR}{v}=\frac{3πL}{4{v}_{0}}$   
粒子回到電場(chǎng)后垂直于極板方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng),經(jīng)t3到達(dá)上極板.
垂直極板方向的初速度:${v}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}v={v}_{0}$      
則有:$L={v}_{0}{t}_{3}+\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$
由③④解得:${t}_{3}=(\sqrt{3}-1)\frac{L}{{v}_{0}}$     
由可得粒子自射入到最終落點(diǎn)的時(shí)間:t=t1+t2+t3
將以上數(shù)據(jù)代入得:t=$(\sqrt{3}+\frac{3}{4}π)\frac{L}{{v}_{0}}$
答:(1)兩極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$,-q粒子飛出極板時(shí)速度v的大小是$\sqrt{2}{v}_{0}$,方向與水平方向之間的夾角是45°.
(2)在極板右邊的空間里存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),若+q粒子與-q粒子在磁場(chǎng)中恰好能相遇,磁感應(yīng)強(qiáng)度B是$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$;
(3)粒子不能回到射入點(diǎn),最終落在上極板上,粒子自射入點(diǎn)至最終落點(diǎn)的時(shí)間是$(\sqrt{3}+\frac{3}{4}π)\frac{L}{{v}_{0}}$.

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)分為加速和偏轉(zhuǎn)兩種類型,常運(yùn)用動(dòng)能定理和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解,注意運(yùn)算時(shí)要細(xì)心,而在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí),重要的是由運(yùn)動(dòng)徑跡利用幾何關(guān)系找到半徑的大小,由洛倫茲力提供向心力,利用牛頓第二定律求解即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的加速度不可能為零

B.小球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)所受輕桿的作用力不可能向下

C.小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)所受輕桿的作用力一定隨小球速度的增大而增大

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