Question

8．如圖所示，一個(gè)板長(zhǎng)為L(zhǎng)，板間距離也是L的平行板電容器上極板帶正電，下極板帶負(fù)電．t=0時(shí)刻，有一對(duì)質(zhì)量均為m，帶電量分別為+q和-q的粒子從兩極板正中央平行極板以速度v₀射入，忽略兩粒子所受的重力及相互作用，-q粒子恰能從上極板邊緣飛出．
（1）求兩極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小、-q粒子飛出極板時(shí)速度v的大小與方向．
（2）在極板右邊的空間里存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若+q粒子與-q粒子在磁場(chǎng)中恰好能相遇，磁感應(yīng)強(qiáng)度B多大？
（3）在上述條件下，如果只有-q粒子射入，它能否回到出發(fā)點(diǎn)？若能，它經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間回到出發(fā)點(diǎn)；若不能，求粒子自射入點(diǎn)至最終落點(diǎn)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）極板間電場(chǎng)的方向由正極板指向負(fù)極板，根據(jù)粒子在電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和偏轉(zhuǎn)位移可求解電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。挥蓜�(dòng)能定理可求粒子飛出電場(chǎng)的速度，飛出電場(chǎng)時(shí)速度的方向與初速度的方向間的夾角可用沿電場(chǎng)方向的分速度與初速度的比值來(lái)表示
（2）兩粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑相同，對(duì)心正碰點(diǎn)必是初速度所在直線與圓周的交點(diǎn)，由幾何關(guān)系找到粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，利用半徑公式可得磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式．
（3）粒子先在電場(chǎng)中做平拋運(yùn)動(dòng)，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后又在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，分別求出三段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后求和即可．

解答 解：（1）-q粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，在豎直方向做勻加速運(yùn)動(dòng)：
由題意知，電場(chǎng)方向從上極板指向下極板
對(duì)于-q粒子，做類平拋運(yùn)動(dòng)的沿電場(chǎng)方向的加速度為：a=$\frac{Eq}{m}$…①
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，t=$\frac{L}{{v}_{0}}$…②
設(shè)粒子沿電場(chǎng)方向位移為y，由于恰從上極板邊緣射出，則有
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{L}{2}$…③
由①②③得：
E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$…④
設(shè)粒子飛出板時(shí)水平速度為v_x，豎直速度為v_y，水平偏轉(zhuǎn)角為θ：v_x=v₀  ⑤
v_y=at=$\frac{qE}{m}•\frac{L}{{v}_{0}}$   ⑥，
則：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$   ⑦，
$v=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$   ⑧
由④⑤⑥⑦⑧式可得θ=45°，$v=\sqrt{2}{v}_{0}$  ⑨
（2）由于+q粒子在電場(chǎng)中向下偏轉(zhuǎn)，且運(yùn)動(dòng)軌跡與-q粒子對(duì)稱，它飛出下極板時(shí)速度大小、偏轉(zhuǎn)角和-q粒子相同，進(jìn)入磁場(chǎng)后它們做半徑相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示，

由幾何關(guān)系得：$R=\frac{\sqrt{2}}{2}L$    ⑩
洛侖茲力提供向心力：qvB=$\frac{m{v}^{2}}{r}$       
聯(lián)立得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$           
（3）粒子不能回到射入點(diǎn)，最終落在上極板上．
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₁=$\frac{L}{{v}_{0}}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{270°}{360°}•T=\frac{3}{4}×\frac{2πR}{v}=\frac{3πL}{4{v}_{0}}$   
粒子回到電場(chǎng)后垂直于極板方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t₃到達(dá)上極板．
垂直極板方向的初速度：${v}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}v={v}_{0}$      
則有：$L={v}_{0}{t}_{3}+\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$
由③④解得：${t}_{3}=（\sqrt{3}-1）\frac{L}{{v}_{0}}$     
由可得粒子自射入到最終落點(diǎn)的時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃
將以上數(shù)據(jù)代入得：t=$（\sqrt{3}+\frac{3}{4}π）\frac{L}{{v}_{0}}$
答：（1）兩極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$，-q粒子飛出極板時(shí)速度v的大小是$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向與水平方向之間的夾角是45°．
（2）在極板右邊的空間里存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若+q粒子與-q粒子在磁場(chǎng)中恰好能相遇，磁感應(yīng)強(qiáng)度B是$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（3）粒子不能回到射入點(diǎn)，最終落在上極板上，粒子自射入點(diǎn)至最終落點(diǎn)的時(shí)間是$（\sqrt{3}+\frac{3}{4}π）\frac{L}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)分為加速和偏轉(zhuǎn)兩種類型，常運(yùn)用動(dòng)能定理和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解，注意運(yùn)算時(shí)要細(xì)心，而在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，重要的是由運(yùn)動(dòng)徑跡利用幾何關(guān)系找到半徑的大小，由洛倫茲力提供向心力，利用牛頓第二定律求解即可．