Question

3．光滑水平桌面上有一輕彈簧，用質(zhì)量m=0.4kg的小球?qū)�彈簧緩慢壓縮，釋放后物塊從A點(diǎn)水平拋出，恰好由P點(diǎn)沿切線進(jìn)入光滑圓管軌道MNP（圓管略大于小球），已知圓管軌道為半徑R=0.8m，且圓管剪去了左上角135°的圓弧，P點(diǎn)到桌面的水平距離是R，豎直距離也是R，MN為豎直直徑，g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）釋放時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能；
（2）小球能否通過(guò)M點(diǎn)？如能通過(guò)，求出在該點(diǎn)對(duì)管的壓力．

Answer 1

分析 （1）物體恰好無(wú)碰撞落到P點(diǎn)，其豎直分速度可以根據(jù)落體規(guī)律求解，然后根據(jù)速度偏轉(zhuǎn)角求解水平分速度并得到P點(diǎn)速度，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解A點(diǎn)速度；對(duì)釋放小球的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式，聯(lián)立方程組求解；
（2）先根據(jù)A到M過(guò)程機(jī)械能守恒列式，若能過(guò)最高點(diǎn)列式，最后聯(lián)立方程組求解即可．

解答 解：（1）設(shè)物塊由A點(diǎn)以初速v_A做平拋，落到P點(diǎn)時(shí)其豎直速度為：${v}_{y}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.8}=4$m/s
由于$\frac{{v}_{y}}{{v}_{A}}=tan45°$，解得v_A=4m/s
設(shè)彈簧長(zhǎng)為AC時(shí)的彈性勢(shì)能為E_P，則彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為物塊的動(dòng)能，則：
E_P=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.4×{4}^{2}=3.2$J
（2）由題意可知，A到M的過(guò)程中只有重力做功，滿足機(jī)械能守恒，若能到達(dá)M點(diǎn)，則：
$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}+mg（R+Rcos45°-R）$
代入數(shù)據(jù)得：v_M=2.165m/s
物塊能通過(guò)M點(diǎn)，設(shè)軌道對(duì)物塊的支持力的方向向上，重力與支持力的合力提供向心力，則：
$mg-{F}_{N}=\frac{m{v}_{M}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：F_N=1.656N
根據(jù)牛頓第三定律，物塊對(duì)軌道的壓力方向向下，大小為1.656N．
答：（1）釋放時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能是3.2J；（2）小球能通過(guò)M點(diǎn)，物塊在該點(diǎn)對(duì)管的壓力是1.656N．

點(diǎn)評(píng) 該題中，物塊的運(yùn)動(dòng)包含水平面上的運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)以及在圓軌道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，解答本題關(guān)鍵要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后多次運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，最后聯(lián)立方程組求解即可．