Question

（2012?安徽一模）如圖所示，AOB是游樂場中的滑道模型，它位于豎直平面內，由兩個半徑都是R的

1

4

圓周連接而成，它們的圓心O₁，O₂與兩圓弧的連接點O在同一豎直線上．O₂B沿水池的水面，O₂和B兩點位于同一水平面上．一個質量為m的小滑塊可由弧AO的任意位置從靜止開始滑下，不計一切摩擦．
（1）假設小滑塊由A點靜止下滑，求小滑塊滑到O點時對O點的壓力；
（2）凡能在O點脫離滑道的小滑塊，其落水點到O₂的距離如何；
（3）若小滑塊從開始下滑到脫離滑道過程中，在兩個圓弧上滑過的弧長相等，則小滑塊開始下滑時應在圓弧AO上的何處（用該處到O₁點的連線與豎直線的夾角的三角函數值表示）．

Answer 1

分析：（1）對從A到O的運動過程中運用動能定理及向心力公式即可解題；
（2）凡能在O點脫離滑道的小滑塊，離開軌道后做平拋運動，先求出最小速度，再根據平拋運動的規(guī)律即可求解；
（3）如圖所示，設滑塊出發(fā)點為P₁，離開點為P₂，按題意要求O₁P₁、O₂P₂與豎直方向的夾角相等，設其為θ，若離開滑道時的速度為v，則滑塊在P₂處脫離滑道的條件是

mv2

R

=mgcosθ，結合機械能守恒即可求解．

解答：解：（1）從A到O的運動過程中根據動能定理得：
mgR=

1

2

mv²    
根據向心力公式得：
Fn-mg=m

v2

R

      
聯立得：Fn=3mg  
由牛頓第三定律得：壓力大小為3mg，方向豎直向下．  
（2）從A點下滑的滑塊到O點的速度為

2gR

，設能脫離軌道的最小速度為v₁
則有：mg=m

v12

R

，得：v₁=

gR

R=

1

2

gt²    X=v_ot            
聯立得：

2

R≤x≤2R    
（3）如圖所示，設滑塊出發(fā)點為P₁，離開點為P₂，按題意要求O₁P₁、O₂P₂與豎直方向的夾角相等，
設其為θ，若離開滑道時的速度為v，則滑塊在P₂處脫離滑道的條件是

mv2

R

=mgcosθ
由機械能守恒  2mgR(1-cosθ)=

1

2

mv2
聯立解得   cosθ=

4

5

答：（1）小滑塊滑到O點時對O點的壓力大小為3mg，方向豎直向下；
（2）凡能在O點脫離滑道的小滑塊，其落水點到O₂的距離范圍為

2

R≤x≤2R；
（3）若小滑塊從開始下滑到脫離滑道過程中，在兩個圓弧上滑過的弧長相等，則小滑塊開始下滑時應在圓弧AO上的cosθ=

4

5

處．

點評：該題主要考查了動能定理、向心力公式、平拋運動的規(guī)律及機械能守恒定律，綜合性較強，難度較大．