Question

7．如圖所示，有金屬導(dǎo)軌MNC和PQD，NC與QD平行、MN與PQ平行，且間距均為L(zhǎng)，PQ與水平面夾角為θ，QD水平，N、Q連線與MN、NC均垂直．均勻金屬棒ab和ef質(zhì)量均為m，電阻均為R，ef棒垂直放在傾斜導(dǎo)軌上，由導(dǎo)軌上的小立柱1和2阻擋而靜止，且處在垂直傾斜導(dǎo)軌平面向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．以Q為原點(diǎn)、Q指向D方向?yàn)檎较虻慕軸，水平導(dǎo)軌處于方向豎直向下的磁場(chǎng)中，且磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=kx （k為常量）．t=0s時(shí)ab棒位于水平導(dǎo)軌上與NQ重合，在水平外力F的作用下沿x軸正方向作速度為v的勻速運(yùn)動(dòng)．不計(jì)各導(dǎo)軌的電阻和一切摩擦阻力，兩金屬棒與導(dǎo)軌保持良好接觸，忽略感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)，重力加速度為g．試求：
（1）從t=0s到ef棒剛好與小立柱1和2的彈力為零的時(shí)間內(nèi)，ab棒運(yùn)動(dòng)的距離x₀；
（2）當(dāng)ef棒與小立柱1和2的彈力剛好為零時(shí)，立即撤去小立柱1和2，通過(guò)改變ab棒的速度使ef棒始終靜止，則ab棒再移動(dòng)距離x₀過(guò)程中ef棒產(chǎn)生的焦耳熱Q和通過(guò)ef棒某橫截面的電量q．

Answer 1

分析 （1）小立柱1和2的彈力為零時(shí)，導(dǎo)體棒ef受重力、支持力和安培力平衡，根據(jù)平衡條件求解安培力，根據(jù)安培力公式求解感應(yīng)電流，根據(jù)切割公式列式求解，ab棒運(yùn)動(dòng)的距離x₀；
（2）撤去小立柱1和2后ef棒始終靜止，說(shuō)明感應(yīng)電流不變；求解ab棒受安培力表達(dá)式，根據(jù)平衡條件得到拉力表達(dá)式，計(jì)算出拉力的功，根據(jù)功能關(guān)系，等于忽略產(chǎn)生的電熱；再根據(jù)焦耳定律公式列式求解時(shí)間，得到電荷量q．

解答 解：（1）ef棒剛好與小立柱1和2的彈力為零時(shí)，設(shè)通過(guò)ef的電流為I，對(duì)ef受力析可求得：mgsinθ=B₀I₀L…①
ab棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：E=BLv…②
由閉合電路歐姆定律可得：${I_0}=\frac{E}{2R}$…③
由題可知：B=kx…④
聯(lián)立①②③④可得：${x_0}=\frac{2mgRsinθ}{{kv{B_0}{L^2}}}$…⑤
（2）撤去小立柱1和2后，ef棒保持靜止可知，通過(guò)ef、ab棒的電流I₀恒定，由①可得：${I_0}=\frac{mgsinθ}{{{B_0}L}}$…⑥
此過(guò)程ab棒所受安培力：F=BI₀L=kI₀Lx…⑦
由⑦可以分析出通過(guò)ab棒所受安培力與位移成正比，
則F-x圖象與x軸包圍的面積大小即為產(chǎn)生的電能，則ab棒從x=x₀到x=2x₀過(guò)程電能為：$E=\frac{{3k{x_0}^2mgsinθ}}{{2{B_0}}}$，
$Q=\frac{E}{2}=\frac{{3k{x_0}^2mgsinθ}}{{4{B_0}}}$，
又$E={I_0}^2Rt$，q=I₀t，
得$q=\frac{{3kL{x_0}^2}}{4R}$；
答：（1）ab棒運(yùn)動(dòng)的距離x₀$\frac{2mgRsinθ}{kv{B}_{0}{L}^{2}}$；
（2）ab棒再移動(dòng)距離x₀過(guò)程中ef棒產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{3k{{x}_{0}}^{2}mgsinθ}{4{B}_{0}}$，通過(guò)ef棒某橫截面的電量q為$\frac{3kL{{x}_{0}}^{2}}{4R}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是分析清楚棒的受力的情況，根據(jù)平衡條件找出磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式．要知道力學(xué)與電磁感應(yīng)聯(lián)系的橋梁是安培力，要能熟練運(yùn)用法拉第定律、歐姆定律和安培力公式推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式．