Question

14．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xoy的第一象限中，存在豎直向下的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為4E0，虛線是電場的理想邊界線，虛線右端與x軸的交點(diǎn)為A，A點(diǎn)坐標(biāo)為（L、0），虛線與x軸所圍成的空間內(nèi)沒有電場；在第二象限存在水平向右的勻強(qiáng)電場．電場強(qiáng)度大小為E0．M（-L、L）和N（-L、0）兩點(diǎn)的連線上有一個(gè)產(chǎn)生粒子的發(fā)生器裝置，產(chǎn)生質(zhì)量均為m，電荷量均為q靜止的帶正電的粒子，不計(jì)粒子的重力和粒子之間的相互作用，且整個(gè)裝置處于真空中．已知從MN上靜止釋放的所有粒子，最后都能到達(dá)A點(diǎn)：
（1）若粒子從M點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動，進(jìn)入第一象限后始終在電場中運(yùn)動并恰好到達(dá)A點(diǎn)，求到達(dá)A點(diǎn)的速度大�。�
（2）若粒子從MN上的中點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動，求該粒子從釋放點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)的時(shí)間；
（3）求第一象限的電場邊界線（圖中虛線）方程．

Answer 1

分析 （1）由動能定理即可求出粒子的速度；
（2）由牛頓第二定律求得加速度，然后由運(yùn)動學(xué)的公式即可求得運(yùn)動的時(shí)間；
（3）結(jié)合（1）的公式，按照題目的條件寫出相應(yīng)的方程，即可求解．

解答 解：（1）粒子運(yùn)動的過程中只有測量做功，由動能定理得：
$q{E}_{0}L+4q{E}_{0}L=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
得：${v}_{A}=\sqrt{\frac{10q{E}_{0}L}{m}}$
（2）粒子在第二象限的電場中勻加速的加速度：${a}_{1}=\frac{q{E}_{0}}{m}$
位移：$L=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$
時(shí)間：${t}_{1}=\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$
在第一象限運(yùn)動位移：${a}_{2}=\frac{4q{E}_{0}}{m}$
$L=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{4q{E}_{0}}{m}•{t}_{2}^{2}$
得：${t}_{2}=\frac{1}{2}•\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$
這個(gè)過程中該粒子所用的時(shí)間：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$     
（3）設(shè)粒子從P點(diǎn)坐標(biāo)為（-L、y₀）由靜止勻加速直線運(yùn)動，粒子進(jìn)入第一象限做類平拋運(yùn)動，經(jīng)Q點(diǎn)后做勻速直線運(yùn)動，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x、y）；
設(shè)粒子進(jìn)入第一象限的速度v₀：$q{E}_{0}L=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$          
做類平拋運(yùn)動經(jīng)Q點(diǎn)時(shí)，水平：x=v₀t…①
豎直方向：${y}_{0}-y=\frac{1}{2}•{a}_{2}t{′}^{2}$…②
把上面①②兩式相除得：$\frac{{y}_{0}-y}{x}=\frac{{a}_{2}t′}{2{v}_{0}}=\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$
QA與x軸成θ角可得：$tanθ=\frac{y}{L-x}$；
由速度分解：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{2（{y}_{0}-y）}{x}$；
整理得邊界方程：$y=\frac{2}{L}（Lx-{x}^{2}）$    
且有（0≤x≤L；0≤y≤$\frac{L}{2}$）
答：（1）這個(gè)過程中該粒子到達(dá)A點(diǎn)的速度大小是$\sqrt{\frac{10q{E}_{0}L}{m}}$；
（2）這個(gè)過程中該粒子所用的時(shí)間$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$；
（3）若從MN線上M點(diǎn)下方由靜止發(fā)出的所有粒子，在第二象限的電場加速后，經(jīng)第一象限的電場偏轉(zhuǎn)穿過虛線邊界后都能到達(dá)A點(diǎn)，此邊界（圖中虛線）方程是：$y=\frac{2}{L}（Lx-{x}^{2}）$；且有（0≤x≤L；0≤y≤$\frac{L}{2}$）．

點(diǎn)評 解答本題的關(guān)鍵是分析粒子的受力情況，再分析運(yùn)動情況．對于類平拋運(yùn)動要掌握分解的方法，運(yùn)用幾何知識確定幾何關(guān)系是關(guān)鍵．