Question

12．氣象衛(wèi)星的運行軌道距地面高度為h，在通過地球兩極上空的圓軌道上運行．求：
（1）該衛(wèi)星的運行周期．
（2）在日照條件下，衛(wèi)星在通過赤道上空時拍照，為使衛(wèi)星能夠在一天的時間內(nèi)將地面上赤道各處都拍攝下來，該衛(wèi)星上的攝像機每次至少應拍攝赤道上圓周的弧長是多少？已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)周期為T，地面上的重力加速度為g．

Answer 1

分析 （1）知道衛(wèi)星的高度，就可以確定衛(wèi)星的軌道半徑的大小，根據(jù)萬有引力作為向心力計算周期的大小；
（2）根據(jù)地球的周期，計算地球自轉(zhuǎn)的角度，繼而得出衛(wèi)星上的攝像機應拍攝赤道圓周的弧長為θ角所對應的圓周弧長．

解答 解：（1）設(shè)偵察衛(wèi)星的周期為T₁，地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力為衛(wèi)星做圓周運動的向心力，衛(wèi)星的軌道半徑為：r=R+h，
根據(jù)牛頓第二定律，得：$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m（R+h）\frac{{4{π^2}}}{{{T_1}^2}}$．
在地球表面的物體重力近似等于地球的萬有引力，即：$mg=G\frac{Mm}{R^2}$
解得偵察衛(wèi)星的周期為：${T_1}=\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g}}$，
（2）已知地球自轉(zhuǎn)周期為T，則衛(wèi)星繞行一周，地球自轉(zhuǎn)的角度為：$θ=2π\(zhòng)frac{T_1}{T}$．
攝像機應拍攝赤道圓周的弧長為θ角所對應的圓周弧長應為：$s=θR=2π\(zhòng)frac{T_1}{T}R=\frac{2πR}{T}•\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g}}$=$\frac{{4{π^2}}}{T}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g}}$
答：（1）該衛(wèi)星的運行周期為$\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{g}}$．
（2）衛(wèi)星上的攝像機每次至少應拍攝赤道上圓周的弧長是$\frac{{4{π^2}}}{T}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g}}$．

點評 在地球的質(zhì)量不知而地球表面的重力加速度已知時，要用黃金代換公式表示地球的質(zhì)量，這是我們經(jīng)常使用的方法，要注意掌握．