Question

20．如圖所示為水上游樂園的設(shè)施，由彎曲滑道、豎直平面內(nèi)的圓形滑道，水平滑道及水池組成，桶形圓形滑道外側(cè)半徑R=2m，圓形滑道的最低點的水平入口B和水平出口B′相互錯開，為保證安全，在圓形滑道內(nèi)運動時，要求緊貼外側(cè)滑行，水面離水平軌道高度h=5m，現(xiàn)游客從滑道A點由靜止滑下，游客可視為質(zhì)點，不計一切阻力，重力加速度g取10m/s²，求：
（1）起滑點A至少離水平滑道多高？
（2）為了保證游客安全，在水池中放有長度為L=5m的安全氣墊MN，其厚度不計，滿足（1）的游客恰好在M端，要使游客能安全落在氣墊上，安全滑下點A距水平滑道的高度取值范圍是多少？

Answer 1

分析 （1）對游客在圓軌道的最高點應(yīng)用牛頓第二定律求得速度，再由機械能守恒即可求得A的高度；
（2）根據(jù)（1）求得游客在C點的速度，進而由平拋運動規(guī)律求得M點距水池左側(cè)的距離，從而得到平拋運動的水平位移，進而得到C點的速度范圍，再由機械能守恒即可求得高度范圍．

解答 解：（1）沿圓形外側(cè)滑道滑過最高點，設(shè)在最高點的速度為v，那么由牛頓第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}^{2}}{R}$；
又有整個過程不計阻力，則只有重力做功，故機械能守恒，設(shè)起滑點A離水平滑道高H，則有：$mgH=2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}≥\frac{5}{2}mgR$；
所以，$H≥\frac{5}{2}R=5m$，即起滑點A至少離水平滑道5m高；
（2）水面離水平軌道高度h=5m，故游客做平拋運動的時間為：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=1s$；
當(dāng)h=5m時，游客在水平軌道上的速度為v₁，那么由機械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=mgH$
解得：${v}_{1}=\sqrt{2gH}=10m/s$；
所以，M點距水池左側(cè)的距離范圍為：x₁=v₁t=10m，
那么，要使游客能安全落在氣墊上，則在平拋運動中水平位移為：10m≤x≤15m
所以，在水平軌道上的速度范圍為：10m/s≤v′≤15m/s，
則設(shè)安全滑下點A距水平滑道的高度為H′，由機械能守恒可得：$mgH′=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，
所以，$H′=\frac{v{′}^{2}}{2g}$，則有：5m≤H′≤11.25m；
答：（1）起滑點A至少離水平滑道5m；
（2）為了保證游客安全，在水池中放有長度為L=5m的安全氣墊MN，其厚度不計，滿足（1）的游客恰好在M端，要使游客能安全落在氣墊上，安全滑下點A距水平滑道的高度取值范圍是5m～11.25m．

點評 在物體運動學(xué)問題中，一般先對物體進行受力分析求得合外力，進而由牛頓第二定律得到加速度，從而由得到物體運動狀態(tài)．