Question

3．如圖所示，在以O₁點為圓心、r=0.20m為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，存在著方向垂直紙面向里，磁感應強度大小為B=1.0×10^-3的勻強磁場（圖中未畫出）．圓的左端跟y軸相切于直角坐標系原點O，右端與一個足夠大的熒光屏MN相切于x軸上的A點，粒子源中，有帶正電的粒子（比荷為$\frac{q}{m}$=1.0×10¹⁰C/kg）不斷地由靜止進入電壓U=800V的加速電場．經(jīng)加速后，沿x軸正方向從坐標原點O射入磁場區(qū)域，粒子重力不計．
（1）求粒子在磁場中做圓周運動的半徑、速度偏離原來方向的夾角的正切值．
（2）以過坐標原點O并垂直于紙面的直線為軸，將該圓形磁場逆時針緩慢旋轉(zhuǎn)90°，求在此過程中打在熒光屏MN上的粒子到A點的最遠距離．

Answer 1

分析 （1）粒子從靜止開始進入加速電場，由動能定理求出速度，在圓形磁場中洛侖茲力提供向心力，從而能求出粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑．
（2）以過坐標原點O并垂直于紙面的直線為軸，將該圓形磁場逆時針緩慢旋轉(zhuǎn)90°時，而粒子的運動軌跡不變，所以只要以O為圓心，OA的長為半徑畫弧，軌跡與該弧的交點就是打在屏上最遠的出射點，由幾何關系可以求出最遠點離O點的距離．

解答 解：（1）帶電粒子在電場中加速，由動能定理得$qU=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
進入磁場后做圓周運動，洛倫茲力提供向心力$qvB=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得$R=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$=0.4m
設速度偏離原來方向的夾角為θ，由幾何關系得tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{r}{R}$=$\frac{1}{2}$
故速度偏離原來方向的夾角正切值tanθ=$\frac{4}{3}$
（2）以O點為圓心，OA為半徑做圓弧AC交y軸于C點；以C點為圓心，CO為半徑作出粒子運動的軌跡交弧AC于D點．
粒子在磁場中運動的最大圓弧弦長OD=2r=0.4 m，
由幾何關系可知sin$\frac{α}{2}=\frac{r}{R}$
最遠距離  y_m=（2r-Rtan α）tan 2α（
代入數(shù)據(jù)可得${y}_{m}=\frac{2（\sqrt{3}-1）}{5}m$=0.29m
答：（1）求粒子在磁場中做圓周運動的半徑、速度偏離原來方向的夾角的正切值為$\frac{4}{3}$．
（2）以過坐標原點O并垂直于紙面的直線為軸，將該圓形磁場逆時針緩慢旋轉(zhuǎn)90°，在此過程中打在熒光屏MN上的粒子到A點的最遠距離為0.29m．

點評 本題的靚點是第二問，當圓形磁場區(qū)域轉(zhuǎn)動90°時，粒子還是在該磁場中運動，軌跡不變，只是軌跡的長短不一樣，顯然只有軌跡對應的弦長為直徑時，偏轉(zhuǎn)角最大，打在屏上的點離A最遠．畫出軌跡，由幾何關系就能求出離A點最遠的距離．