Question

7．如圖（a）所示，傾角為45°、高為h的斜面固定在水平地面上，小球從高為H（2h＞H＞h）的某處自由下落，與斜面碰撞（不計能量損失）后做平拋運動．
（1）若小球做平拋運動后能直接落到水平地面上，求自由下落的起始點距斜面左端的水平距離x應滿足的條件；
（2）若測得x=1m時，小球平拋運動的水平射程s最大，且水平射程的平方s²與x關(guān)系如圖（b）所示，求斜面的高度h．

Answer 1

分析 小球與斜面碰撞后做平拋運動，當正好落在斜面底端時，x最小，根據(jù)平拋運動的基本公式結(jié)合幾何關(guān)系、動能定理求出x的最小值，而x的最大值即為h，從而求出x的范圍；由圖可知，當x=1m時，s最大，且s²=36m²，所以s=6m，根據(jù)平拋運動的基本公式及動能定理求出s²的表達式，根據(jù)數(shù)學知識求出滿足什么條件時，s最大，從而求解h．

解答 解：小球與斜面碰撞后做平拋運動，當正好落在斜面底端時，根據(jù)幾何關(guān)系可知，
水平位移為：x₁=h-x
豎直位移為：y=h-x
根據(jù)平拋運動豎直方向做自由落體運動得：
t=$\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$
所以平拋運動的初速度為：${v}_{0}=\frac{h-x}{t}=\frac{h-x}{\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}}$
小球從釋放到與斜面碰撞的過程中，根據(jù)動能定理得：
mg（H+x-h）=$\frac{1}{2}{{mv}_{0}}^{2}$
解得：x=h-$\frac{4}{5}$H
當小球正好在斜面底端釋放時，x最大，則有：x_max=h
所以若小球做平拋運動后能直接落到水平地面上，自由下落的起始點距斜面左端的水平距離x應滿足的條件是h＞x＞h-$\frac{4}{5}$H；
（2）由圖可知，當x=1m時，s²=36m²，所以s=6m
則水平方向：s=vt，
豎直方向：h-x=$\frac{1}{2}$gt²，
根據(jù)動能定理得：
2g（H-h+x）=v²，
聯(lián)立解得
s²=4（H-h+x）（h-x）=-4[（h-x）²-H（h-x）+$\frac{1}{4}$H²]+H²=-4[（h-x）-$\frac{H}{2}$]²+H²．
當（h-x）-$\frac{H}{2}$=0時，s²取最大值，s最大值為6m，
對應的H=6m，
斜面的高h=x+$\frac{H}{2}$=4m
答：（1）若小球做平拋運動后能直接落到水平地面上，求自由下落的起始點距斜面左端的水平距離x應滿足的條件是h＞x＞h-$\frac{4}{5}$H；
（2）若測得x=1m時，小球平拋運動的水平射程s最大，且水平射程的平方s²與x關(guān)系如圖（b）所示，斜面的高度h為4m．

點評 本題主要考查了平拋運動基本公式、動能定理的直接應用，要求同學們能結(jié)合數(shù)學知識求解s的最大值，難度適中．