Question

7．如圖甲所示，在xOy坐標(biāo)平面的第一象限（包括x、y軸）內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀、方向垂直于xOy平面且隨時間做周期性變化的勻強(qiáng)磁場，如圖乙所示，規(guī)定垂直xOy平面向里的磁場方向?yàn)檎�．在y軸左側(cè)有一對豎直放置的平行金屬板M、N，兩板間的電勢差為U₀．一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子（重力和空氣阻力均忽略不計(jì)），從貼近M板的中點(diǎn)無初速釋放，通過N板小孔后從坐標(biāo)原點(diǎn)O以某一速度沿x軸正方向垂直射入磁場中，經(jīng)過一個磁場變化周期T₀（T₀未知）后到達(dá)第一象限內(nèi)的某點(diǎn)P，此時粒子的速度方向恰好沿x軸正方向．

（1）求粒子進(jìn)入磁場作勻速圓周運(yùn)動時的運(yùn)動半徑；
（2）若粒子在t=0時刻從O點(diǎn)射入磁場中，求粒子在P點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值y_m及相應(yīng)的磁場變化周期T₀的值；
（3）若在上述（2）中，第一象限內(nèi)y=y_m處平行x軸放置有一屏幕，如圖甲，磁場變化周期為上述（2）中T₀，但M、N兩板間的電勢差U可以在U₀＜U＜9U，范圍內(nèi)變化，粒子仍在t=0時刻從O點(diǎn)射入磁場中，求粒子可能擊中的屏幕范圍．

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出粒子進(jìn)入磁場時的速度，然后又洛倫茲力提供向心力求出粒子運(yùn)動的半徑；
（2）根據(jù)幾何知識求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)與粒子圓周運(yùn)動半徑的關(guān)系．根據(jù)粒子在第一象限運(yùn)動的條件求解P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值及相應(yīng)的磁場變化周期T₀的值．
（3）結(jié)合前兩問的公式，寫出粒子的半徑的范圍，然后畫出粒子運(yùn)動的軌跡圖，最后結(jié)合幾何關(guān)系得出粒子可能的范圍．

解答 解：（1）設(shè)粒子被電場加速獲得的速度是v₀，由動能定理得：$q{U}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$
粒子進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動的軌道半徑為r，根據(jù)牛頓第二定律得$q{v}_{0}{B}_{0}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：$r=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}=\frac{1}{{B}_{0}}•\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$
（2）設(shè)兩段圓弧的圓心O₁O₂的連線與y軸夾角為θ，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y，圓心O₂到y(tǒng)軸之間的距離為x，則由幾何關(guān)系，得
  $\overline{O{O}_{1}}=\overline{P{O}_{2}}=r$，$\overline{{O}_{1}{O}_{2}}=2r$
   y=2r+2rcosθ
   sinθ=$\frac{x}{2r}$
保證粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動，x≥r
由幾何關(guān)系可知當(dāng)θ=30°時，y取最大，${y}_{m}=2r+2rcos30°=（2+\sqrt{3}）r=（2+\sqrt{3}）•$$\frac{1}{{B}_{0}}•\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$
設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動的周期為T，則$T=\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$由幾何關(guān)系知粒子在磁場中轉(zhuǎn)過（180°-30°）=150°時磁場開始改變方向，即在磁場變化的半個周期內(nèi)粒子轉(zhuǎn)過150°，則：$\frac{{T}_{0}}{2}=\frac{150°}{360°}•T=\frac{5}{12}T$
解得：${T}_{0}=\frac{5}{6}T=\frac{5πm}{3q{B}_{0}}$

（3）由U₀＜U＜9U，和${v}_{0}=\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$得：v₀＜v＜3v₀．
在磁場中運(yùn)動的半徑：r＜R＜3r，運(yùn)動軌跡如圖，則由幾何關(guān)系可得，打在屏幕上的范圍的最左端如圖中②所示，該點(diǎn)的橫坐標(biāo)：x₁=0，
打在最右端的軌跡如圖中③所示，由幾何關(guān)系得：$（{y}_{m}-{R}_{m}）^{2}+{x}_{2}^{2}={R}_{m}^{2}$
聯(lián)立解得：${x}_{2}=\sqrt{5+2\sqrt{3}}r$=$\sqrt{\frac{2（5+3\sqrt{3}）m{U}_{0}}{q{B}_{0}^{2}}}$
粒子可能擊中的屏幕范圍是：$0≤x≤\sqrt{\frac{2（5+3\sqrt{3}）m{U}_{0}}{q{B}_{0}^{2}}}$
答：（1）粒子進(jìn)入磁場作勻速圓周運(yùn)動時的運(yùn)動半徑是$\frac{1}{{B}_{0}}•\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$；
（2）若粒子在t=0時刻從O點(diǎn)射入磁場中，粒子在P點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值是$\frac{2+\sqrt{3}}{{B}_{0}}•\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$，相應(yīng)的磁場變化周期T₀的值是$\frac{5πm}{3q{B}_{0}}$；
（3）粒子可能擊中的屏幕范圍是$0≤x≤\sqrt{\frac{2（5+3\sqrt{3}）m{U}_{0}}{q{B}_{0}^{2}}}$．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在交變磁場中運(yùn)動的問題，畫出粒子運(yùn)動的軌跡，根據(jù)幾何知識求解半徑是關(guān)鍵．