Question

19．如圖所示，足夠長的金屬導軌MN和PQ與R相連，平行地放在水平桌面上，質(zhì)量為m的金屬桿可以無摩擦地沿導軌運動．導軌與ab桿的電阻不計，導軌寬度為L，磁感應強度為B的勻強磁場垂直穿過整個導軌平面．現(xiàn)給金屬桿ab一個瞬時沖量I₀，使ab桿向右滑行．
（1）求回路的最大電流．
（2）當滑行過程中電阻上產(chǎn)生的熱量為Q時，桿ab的加速度多大？
（3）桿ab從開始運動到停下共滑行了多少距離？

Answer 1

分析 （1）給金屬桿ab一個瞬時沖量I₀，ab桿將切割磁感線產(chǎn)生感應電流，受到安培力阻礙而做減速運動，速度減小，安培力大小隨之減小，則加速度減小．可知桿的運動情況．
金屬桿在導軌上做減速運動，剛開始時速度最大，由E=BLv和I結(jié)合求出最大電流．
（2）根據(jù)E=BLv，I=$\frac{E}{R}$和F=BIL推導出安培力表達式，由牛頓第二定律求解加速度．
（3）由動能定理求解．

解答 解：（1）由動量定理有：I₀=mv₀-0，
解得：v₀=$\frac{{I}_{0}}{m}$，
由題可知金屬桿做減速運動，剛開始有最大速度時有最大為：
E_m=BLv，
所以回路最大電流為：Im=$\frac{BL{I}_{0}}{mR}$；
（2）設此時桿的速度為v，由能量守恒有：
Q=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{\frac{{I}_{0}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{2Q}{m}}$，
由牛頓第二定律F_A=BIL=ma及閉合電路歐姆定律有：I=$\frac{BLv}{R}$，
解得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$$\sqrt{\frac{{I}_{0}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{2Q}{m}}$；
（3）對全過程應用動量定理有：-$\sum_{\;}^{\;}B{I}_{i}L•△t$=0-I₀，$\sum_{\;}^{\;}{I}_{i}•△t$=q，
則：q=$\frac{{I}_{0}}{BL}$，
又：q=It=$\frac{BLx}{R}$，其中x為桿滑行的距離
所以有：x=$\frac{{I}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）回路最大電流是$\frac{BL{I}_{0}}{mR}$．
（2）當滑行過程中電阻上產(chǎn)生的熱量為Q時，桿ab的加速度為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$$\sqrt{\frac{{I}_{0}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{2Q}{m}}$．
（3）桿ab從開始運動到停下共滑行了$\frac{{I}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點評 本題通過桿的受力情況來分析其運動情況，關(guān)鍵要抓住安培力大小與速度大小成正比．