Question

1．如圖所示，空間勻強電場E沿-y方向，勻強磁場B沿-z方向．有一電荷量為q，質量為m的帶正電粒子，從O點沿+x軸方向以初速度v₀=$\frac{2E}{B}$射入場區(qū)，粒子的重力忽略不計，求：
（1）此帶電粒子距x軸的最大距離；
（2）此帶電粒子的軌跡與x軸相切的所有點的坐標x所滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）粒子的運動可以看做勻速直線運動與勻速圓周運動，根據粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑與周期公式求出最大距離．
（2）作出粒子運動軌跡，應用運動學公式求出粒子沿x軸的位移，然后分析答題．

解答 解：（1）令v₀=v₁+v′=$\frac{2E}{B}$，其中v₁=$\frac{E}{B}$，v′=$\frac{E}{B}$其方向與v₀方向相同． 
則帶電粒子的運動可視為速度為v₁=$\frac{E}{B}$的勻速直線運動與速度為v′的逆時針方向的勻速圓周運動的合運動，
運動軌跡如圖所示，其圓周運動的半徑和周期分別為：R=$\frac{mv′}{qB}$=$\frac{mE}{q{B}^{2}}$，T=$\frac{2πm}{qB}$，
故帶電粒子將做螺旋線運動，粒子運動的軌跡如圖中實線所示，
M點為粒子距x軸的最遠點．在這一點粒子的速度：v_M=v₁-v′=0，
它到x軸的距離為：y_m=2R=$\frac{2mE}{q{B}^{2}}$；
（2）如圖P點為粒子運動軌跡與x軸的相切點，
且粒子在該點的速度為：v_P=v₁+v′=$\frac{2E}{B}$，
其與x軸的切點坐標為：x_p=v₁T=$\frac{E}{B}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πmE}{q{B}^{2}}$，
根據運動的周期性，粒子與x軸的所有相切點的坐標為
x=nx_p=v₁nT=$\frac{E}{B}$×n$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2nπmE}{q{B}^{2}}$�。╪=1、2、3、…）；
答：（1）此帶電粒子距x軸的最大距離為$\frac{2mE}{q{B}^{2}}$；
（2）此帶電粒子的軌跡與x軸相切的所有點的坐標x所滿足的條件是：$\frac{2nπmE}{q{B}^{2}}$　（n=1、2、3、…）．

點評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運動，應用運動的合成與分解觀點是解題的關鍵，分析清楚粒子運動過程、作出粒子運動軌跡，應用圓周運動的軌道半徑公式與周期公式、應用運動學公式可以解題．