Question

16．如圖所示，在x＞0的空間中，存在沿x軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E；在x＜0的空間中，存在沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小也為E．一電子（-e，m）在x=d處的P點(diǎn)以沿y軸正方向的初速度v₀開始運(yùn)動(dòng)，不計(jì)電子重力．求：
（1）電子的x方向分運(yùn)動(dòng)的周期．
（2）電子運(yùn)動(dòng)的軌跡與y軸的各個(gè)交點(diǎn)中，任意兩個(gè)交點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）電子垂直電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，在沿電場(chǎng)方向先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，然后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直電場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性求出電子在x方向分運(yùn)動(dòng)的周期．
（2）結(jié)合電子在y方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性和周期性求出任意兩個(gè)交點(diǎn)的距離

解答 解：電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的受力情況及軌跡如圖所示．

在x＞0的空間中，沿y軸正方向以v₀的速度做勻速直線運(yùn)
動(dòng)，沿x軸負(fù)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度的大小為a，
則F=eE=ma$d=\frac{1}{2}a{t_1}^2$      $\overline{OA}={v_0}{t_1}$ 解得，${t_1}=\sqrt{\frac{2md}{eE}}$   $\overline{OA}={v_0}\sqrt{\frac{2md}{eE}}$
電子從A點(diǎn)進(jìn)入x＜0的空間后，沿y軸正方向仍做v₀的勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿x軸負(fù)方向做加速度大小仍為a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)Q點(diǎn)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性得，電子在x軸方向速度減為零的時(shí)間t₂=${t_1}=\sqrt{\frac{2md}{eE}}$，電子沿y軸正方向的位移$\overline{AB}$=$\overline{OA}={v_0}\sqrt{\frac{2md}{eE}}$
電子到達(dá)Q點(diǎn)后，在電場(chǎng)力作用下，運(yùn)動(dòng)軌跡 QCP₁與QAP關(guān)于QB對(duì)稱，而后的運(yùn)
動(dòng)軌跡沿y軸正方向重復(fù)PAQCP₁，所以有：
（1）電子的x方向分運(yùn)動(dòng)的周期$T=4{t_1}=4\sqrt{\frac{2md}{eE}}$
（2）電子運(yùn)動(dòng)的軌跡與y軸的各個(gè)交點(diǎn)中，任意兩個(gè)交點(diǎn)的距離$s=n\overline{AC}=2n\overline{OA}=2n{v_0}\sqrt{\frac{2md}{eE}}（n=1，2，3…）$
答：（1）電子的x方向分運(yùn)動(dòng)的周期$4\sqrt{\frac{2md}{eE}}$．
（2）電子運(yùn)動(dòng)的軌跡與y軸的各個(gè)交點(diǎn)中，任意兩個(gè)交點(diǎn)的距離$2n{v}_{0}\sqrt{\frac{2md}{eE}}（n=1，2，3…）$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道電子在沿電場(chǎng)方向和垂直電場(chǎng)方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住對(duì)稱性和周期性，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解