Question

2．豎直平面（紙面）內有一半徑為R的圓形區(qū)域，O為圓心，如圖所示．在該圓形區(qū)域內加一豎直方向的勻強電場，一質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子沿圖中水平直徑AO從圓上的A點以速度v射入圓形區(qū)域，在圓上的D點離開該區(qū)域，已知圖中θ=120°．現(xiàn)將電場換為充滿該區(qū)域垂直紙面的勻強磁場，同一粒子以同樣速度沿直徑從A點射入圓形區(qū)域，也在D點離開該區(qū)域．不計粒子重力．
（1）求電場強度的大小和方向以及磁感應強度的大小和方向；
（2）求粒子經電場從A到D的時間以及經磁場從A到D的時間；
（3）若沿紙面內從A點同時向磁場區(qū)域各個方向以大小相同的速度v均勻射入該粒子，則沿AO方向射入的粒子從D點射出時，還在磁場中運動的粒子占所有粒子的比例是多少？并簡述理由．

Answer 1

分析 （1）粒子在勻強電場中粒子做類平拋運動，由平拋規(guī)律結合牛頓第二定律即可求出電場強度大��；加磁場時，粒子做勻速圓周運動，畫出粒子在磁場中的運動軌跡圖象，由幾何關系可以得到軌道半徑，進而由洛倫茲力提供向心力可得磁感應強度的大小，利用左手定則即可判斷出磁場的方向．
（2）粒子在磁場中運動時，根據(jù)軌跡的圓心角求解時間，由類平拋的規(guī)律得到電場運動的時間，即可解答．
（3）找出沿AO方向射入的粒子從D點射出時，恰好從磁場中射出粒子的初速度方向，進而找到還在磁場中運動的粒子的初速度角度范圍，利用初速度角度之比即可求出還在磁場中運動的粒子占所有粒子的比例．

解答 解：（1）加電場時，粒子在電場中做類平拋運動，
根據(jù)牛頓第二定律可得：Eq=ma ①
類平拋規(guī)律有：R+Rcos60°=vt ②
Rsin60°=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$ ③
聯(lián)立①②③式可得：E=$\frac{4\sqrt{3}{mv}^{2}}{9qR}$，電場方向：豎直向下
加磁場時，粒子從A到D有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ④
由幾何關系有：r=Rtan$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{3}$R⑤
聯(lián)立④⑤式得：B=$\frac{\sqrt{3}mv}{3qR}$，
根據(jù)左手定則可知，磁場方向：垂直紙面向里
（2）由②式可得粒子經電場從A到D的時間：t=$\frac{3R}{2v}$
粒子在磁場中運動，由幾何關系可知：圓心角α=60°  
圓運動周期：T=$\frac{2πr}{v}$  ⑥
聯(lián)立⑤⑥式可得，粒子經磁場的運動時間：t′=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{1}{6}$T=$\frac{\sqrt{3}πR}{3v}$
（3）如圖所示，沿AO方向射入的粒子從D點射出時，從A點發(fā)射的與水平方向成θ₂=60°粒子恰好從圓形區(qū)域的C點射出，
則此時：入射初速度方向在角θ₁=30°的范圍內的粒子已飛離磁場；
入射初速度方向在角θ₂=60°的范圍內的粒子仍在磁場中運動，
入射初速度方向在角θ₃=90°的范圍內的粒子已飛離磁場，

所以沿AO方向射入的粒子從D點射出時，還在磁場中運動的粒子占所有粒子的比例：$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}+{θ}_{2}+{θ}_{3}}$=$\frac{60°}{180°}$=$\frac{1}{3}$
答：（1）電場強度的大小為$\frac{4\sqrt{3}{mv}^{2}}{9qR}$，電場方向豎直向下；磁感應強度的大小為$\frac{\sqrt{3}mv}{3qR}$，方向垂直紙面向里；
（2）粒子經電場從A到D的時間以及經磁場從A到D的時間為$\frac{\sqrt{3}πR}{3v}$；
（3）若沿紙面內從A點同時向磁場區(qū)域各個方向以大小相同的速度v均勻射入該粒子，則沿AO方向射入的粒子從D點射出時，還在磁場中運動的粒子占所有粒子的比例是$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查帶電粒子在電場中的類平拋運動以及在磁場中的勻速圓周運動，解題關鍵問題是做出粒子的運動軌跡，結合運動形式選擇合適的規(guī)律解決問題，帶電粒子在磁場中的運動，一定要掌握好幾何方法；第（3）問考查定圓繞定點的旋轉模型，利用初速度方向角度范圍之比去求粒子占所有粒子的比例，對學生幾何能力要求較高．