Question

7．如圖所示，AB（光滑）與CD（粗糙）為兩個(gè)對(duì)稱(chēng)斜面，斜面的傾角均為θ，其上部都足夠長(zhǎng)，下部分別與一個(gè)光滑的圓弧面BEC的兩端相切，一個(gè)物體在離切點(diǎn)B的高度為H處，以初速度v₀沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，物體與CD斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．
（1）物體首次到達(dá)C點(diǎn)的速度大�。�
（2）物體沿斜面CD上升的最大高度h和時(shí)間t；
（3）請(qǐng)描述物體從靜止開(kāi)始下滑的整個(gè)運(yùn)動(dòng)情況，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物體首次到達(dá)C點(diǎn)的速度大��；
（2）根據(jù)牛頓第二定律和速度位移公式求出物體沿斜面CD上升的最大高度h；
根據(jù)速度時(shí)間公式求出時(shí)間t；
（3）分情況討論：①當(dāng)物體與CD斜面的摩擦因數(shù)較大時(shí)，物體滑上CD斜面并勻減速上升靜止在CD斜面某處；
②當(dāng)物體與CD斜面的摩擦因數(shù)較小時(shí)，物體在斜面上做最大高度逐漸降低的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，最終在BEC圓弧內(nèi)做往復(fù)周期運(yùn)動(dòng)．

解答 解：（1）物體在光滑斜面AB和光滑的圓弧面BEC運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
由機(jī)械能守恒定律得，$\frac{1}{2}$mv₀²+mgH=$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：v_C=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gH}$；
（2）由牛頓第二定律得，mgsinθ+μmgcosθ=ma，
則物體沿CD上升的加速度：a=gsinθ+μgcosθ；
由速度位移公式得，${v}_{C}^{2}$=2a$\frac{h}{sinθ}$，
解得：h=$\frac{（{v}_{0}^{2}+2gH）sinθ}{2（gsinθ+μgcosθ）}$；
物體從C點(diǎn)上升到最高點(diǎn)所用的時(shí)間：
t=$\frac{{v}_{C}}{a}$=$\frac{\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gH}}{gsinθ+μgcosθ}$；
（3）情況一：
物體滑上CD斜面并勻減速上升靜止在CD斜面某處．
理由是：物體與CD斜面的摩擦因數(shù)較大．
情況二：
物體在軌道上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，在斜面上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，最大高度逐漸降低，最終在BEC圓弧內(nèi)做往復(fù)周期運(yùn)動(dòng)．
理由是：物體在CD斜面上克服摩擦力做功機(jī)械能減少；在BEC圓弧內(nèi)只有重力做功，機(jī)械能守恒．
答：（1）物體首次到達(dá)C點(diǎn)的速度大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gH}$；
（2）物體沿斜面CD上升的最大高度h為$\frac{（{v}_{0}^{2}+2gH）sinθ}{2（gsinθ+μgcosθ）}$；時(shí)間t為$\frac{\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gH}}{gsinθ+μgcosθ}$；
（3）見(jiàn)解答．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查動(dòng)能定理的應(yīng)用、牛頓第二定律及勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式等知識(shí)的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵要弄清物體在不同階段滿足的規(guī)律，熟練運(yùn)用相關(guān)公式即可正確解題．