Question

11．如圖所示，在xoy平面內(nèi)y＞0的區(qū)域中存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，在y＜0的區(qū)域也存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），一帶正電的粒子從y軸上的P點(diǎn)垂直磁場(chǎng)射入，速度方向與y軸正向成60°．粒子第一次進(jìn)入y＜0的區(qū)域時(shí)速度方向與x軸正向成150°，再次在y＞0的區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡恰與y軸相切．已知OP的距離為2$\sqrt{3}$a，粒子的重力不計(jì)，求：
（1）y＜0的區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；
（2）粒子第2n（n∈N⁺）次通過(guò)x軸時(shí)離O點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）若粒子在y＞0區(qū)域通過(guò)y軸時(shí)的速度方向沿y軸負(fù)方向，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在上方磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，以及在下方磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)半徑之比，結(jié)合半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度之比，從而得出y＜0的區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小．若粒子在y＞0區(qū)域通過(guò)y軸時(shí)的速度方向沿y軸正方向，同理求出y＜0的區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小．
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子第2n（n∈N⁺）次通過(guò)x軸時(shí)離O點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）由$\overline{OP}=2\sqrt{3}a$得直徑為：$\overline{PQ}=\frac{\overline{OP}}{cos30°}=\frac{2\sqrt{3}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4a$，
則在上方圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：${R}_{0}=\frac{1}{2}\overline{PQ}=2a$，
若粒子在y＞0區(qū)域通過(guò)y軸時(shí)的速度方向沿y軸負(fù)方向，
設(shè)粒子在y＜0的區(qū)域運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為R₁，由幾何關(guān)系有：
${R}_{1}=\overline{MQ}=\overline{PO}tan30°+{R}_{0}+{R}_{0}cos60°$，
解得：R₁=5a．
由$R=\frac{mv}{qB}$得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{0}}=\frac{{B}_{0}}{{B}_{1}}$，
解得：${B}_{1}=\frac{2}{5}{B}_{0}$．
若粒子在y＞0區(qū)域通過(guò)y軸時(shí)速度方向沿y軸正方向，
依據(jù)幾何關(guān)系有：$\overline{{O}_{2}N}$-R₀cos60°$+{R}_{2}=\overline{QO}$
解得：R₂=a．
由R=$\frac{mv}{qB}$得：$\frac{{R}_{2}}{{R}_{0}}=\frac{{B}_{0}}{{B}_{2}}$，
解得：B₂=2B₀．
（2）粒子在y＞0區(qū)域通過(guò)y軸時(shí)速度方向沿y軸負(fù)方向情況：
S₁=$n（\overline{MQ}-\overline{OQ}）$=3an，（n∈N⁺）
粒子在y＞0區(qū)域通過(guò)y軸時(shí)速度方向沿y軸正方向情況：
S₂=$n（\overline{OQ}-\overline{SQ}）$=na，（n∈N⁺）
答：（1）y＜0的區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{2}{5}{B}_{0}$或2B₀；
（2）粒子第2n（n∈N⁺）次通過(guò)x軸時(shí)離O點(diǎn)的距離為S₁=$n（\overline{MQ}-\overline{OQ}）$=3an，（n∈N⁺）或S₂=$n（\overline{OQ}-\overline{SQ}）$=na，（n∈N⁺）．

點(diǎn)評(píng) 考查了帶電離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用幾何知識(shí)與牛頓第二定律即可正確解題，注意多解問(wèn)題．