Question

8．如圖（a）所示，輕質(zhì)輪軸的輪半徑為2r，軸半徑為r，它可以繞垂直于紙面的光滑水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，圖（b）為輪軸的側(cè)視圖．輪上繞有細(xì)線，線下端系一質(zhì)量為M的重物，軸上也繞有細(xì)線，線下端系一質(zhì)量為m的金屬桿．平行金屬導(dǎo)軌PQ、MN足夠長(zhǎng)，其中傾角為α、間距為L(zhǎng)，在QN之間連接有阻值為R的電阻，其余電阻不計(jì)．磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌平面垂直．開始時(shí)金屬桿置于導(dǎo)軌下端，將重物由靜止釋放，重物最終能勻速下降，運(yùn)動(dòng)過程中金屬桿始終與導(dǎo)軌接觸良好．

（1）當(dāng)重物M勻速下降時(shí)，細(xì)繩對(duì)金屬桿的拉力T多大？
（2）重物M勻速下降的速度v多大？
（3）對(duì)一定的B，取不同的M，測(cè)出相應(yīng)的M作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的v值，得到實(shí)驗(yàn)圖線如圖（c），圖中畫出了磁感強(qiáng)度分別為B₁和B₂時(shí)的兩條實(shí)驗(yàn)圖線．試根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算比值$\frac{B_1}{B_2}$．

Answer 1

分析 （1）重物勻速下降時(shí)，金屬桿勻速上升，合力都是為零．由滑輪與力的關(guān)系得：Mg•2r=T•r對(duì)重物也進(jìn)行受力分析，即可得出細(xì)繩對(duì)金屬桿的拉力；
（2）首先根據(jù)輪軸原理，得出M與金屬桿的速度關(guān)系．重物最終勻速下降，金屬桿勻速上升，對(duì)金屬桿進(jìn)行受力分析得出金屬桿的受力關(guān)系，即可求解重物M勻速下降的速度；
（3）根據(jù)第1題v的表達(dá)式，分析v-M圖象的斜率，結(jié)合圖象求出斜率，即可得到B₁和B₂的比值．

解答 解：（1）金屬棒達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，重物也勻速運(yùn)動(dòng)，對(duì)于重物，有 T=Mg
又有滑輪與力的關(guān)系得：Mg•2r=T•r
T=2Mg   …①
（2）金屬棒達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由平衡條件得：
  對(duì)于金屬桿，有T=F₁+mgsinα  …②
桿所受的安培力：F₁=BIL…③
回路中的感應(yīng)電流為 I=$\frac{E}{R}$…④
桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv_m
由③④⑤得：T=mgsinα+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$…⑤
通過滑輪的繩子兩端，M與m之間的速度關(guān)系：v_M=2v_m…⑥
由①②⑥可求速度：v_m=$\frac{（2Mg-mgsinα）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$，v_M=$\frac{2（2Mg-mgsinα）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$…⑦
（3）由⑦式得出v-M的函數(shù)關(guān)系式：v_M=$\frac{4gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$M-$\frac{2mgRsinα}{{B}^{2}{L}^{2}}$=kM+b，其中k=$\frac{4gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$，b=-$\frac{2mgRsinα}{{B}^{2}{L}^{2}}$
從圖象上獲取數(shù)據(jù)，得到直線B₁的斜率：k=$\frac{4gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$∝$\frac{1}{{B}^{2}}$
可見B∝$\frac{1}{\sqrt{k}}$
由圖線可得k₁=$\frac{16}{10}$=$\frac{8}{5}$，k₂=$\frac{9}{10}$
故有：$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$=$\frac{9}{16}$
所以得：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}}$=$\frac{3}{4}$
答：
（1）當(dāng)重物M勻速下降時(shí)，細(xì)繩對(duì)金屬桿m的拉力T是2Mg；
（2）重物M勻速下降的速度為$\frac{2（2Mg-mgsinα）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）圖中畫出了磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B₁和B₂時(shí)的兩條實(shí)驗(yàn)圖線，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算比值$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$等于$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中運(yùn)用F=BIL、I=$\frac{E}{R}$、E=BLv推導(dǎo)安培力的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵步驟，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析圖象的信息，得到B₁和B₂的比值．