Question

16．如圖，在距地面高為H=0.5m的光滑桌面左端有一固定豎直板，板上固定一彈簧，在桌面上有一塊很薄的長為L=0.5m的木板，木板的左端固定有豎直擋板（和木塊一起運動），木板和該擋板的總質量為M=2kg，在木板上緊靠擋板放置一質量為m=1kg的小木塊，小木塊與木板之間的摩擦因數(shù)為μ=0.1．在桌面右端固定有一很矮的粘板，其高度略低于長木板的厚度，當長木板撞到粘板上時，速度立即變?yōu)?．在距桌面右端S=1m處有一高為h=0.3m、水平長度為L₀=0.2m的擋網(wǎng)．用長木板將彈簧壓縮，并用細繩固定．（彈簧右端與長木板不粘連，長木板右端距桌面右端足夠遠，g=10m/s²） 現(xiàn)燒斷繩子，長木板和小木塊一起被彈出，則：
（1）若最終小木塊停在長木板最右端，則燒斷繩時彈簧儲存的彈性勢能是多大？
（2）若要使小木塊最終落在擋網(wǎng)上，則彈簧的彈性勢能需在什么范圍內？

Answer 1

分析 （1）長木板M撞到粘板后，m在M上向右做勻減速運動，結合彈簧儲存的彈性勢能等于m和M的初始動能即可正確求解．
（2）先求出離開桌面的速度，再據(jù)平拋運動知識和動能定理求解即可．

解答 解：
（1）彈簧彈開后，m與M一起向右做勻速直線運動，設速度大小為 v₀，M撞到粘板后，m在M上向右做勻減速運動，并離開M．由動能定理有：
$0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=-μmgL$
所以：${v}_{0}^{2}=2μgL$
彈簧儲存的彈性勢能等于m和M的初始動能，即：
${E}_{P}=\frac{1}{2}（M+m）{v}_{0}^{2}=μ（M+m）gL$
代入數(shù)據(jù)得：E_P=1.5J
（2）若m剛好落在網(wǎng)的底端，m離開木板后做平拋運動的初速度為v₁，則有：
$H=\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$
S=v₁t₁
所以：${v}_{1}=S\sqrt{\frac{g}{2H}}$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{1}=\sqrt{10}$m/s
彈簧彈開時，m和M的速度為v_min，對m在M上運動的過程有：
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}=-μmgL$
所以：${v}_{min}^{2}={v}_{1}^{2}+2μgL$
彈簧的彈性勢能最小值為：E_Pmin=16.5J
若m剛好落在網(wǎng)的頂端，則：$H-h=\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$
S+L=${v}_{2}{t}_{2}^{2}$
所以：${v}_{2}=（S+{L}_{0}）•\sqrt{\frac{g}{2（H-h）}}=6$m/s
這時彈簧彈開時，m和M的速度為v_max，對m在M上運動的過程有：
$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{max}^{2}=-μmgL$
彈簧的彈性勢能最大值為：E_Pmax=55.5J
所以，彈簧彈性勢能應在下列范圍內：16.5J＜E_P＜55.5J
答：（1）若最終小木塊停在長木板最右端，則燒斷繩時彈簧儲存的彈性勢能是1.5J
（2）若要使小木塊最終落在擋網(wǎng)上，則彈簧的彈性勢能需滿足16.5J＜E_P＜55.5J．

點評 該題屬于單物體多過程的情況，明確金屬塊的運動情況是解題的關鍵，靈活應用動能定理、運動學公式和平拋運動的知識是解題的關鍵，此題運動過程較復雜，難度較大．