Question

5．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，0＜x＜2L的區(qū)域內(nèi)有一方向豎直向上的勻強電場，2L＜x＜3L的區(qū)域內(nèi)有一方向豎直向下的勻強電場，兩電場強度大小相等．x＞3L的區(qū)域內(nèi)有一方向垂直于xOy平面向外的勻強磁場．某時刻，一帶正電的粒子從坐標原點以沿x軸正方向的初速度v₀進入電場；之后的另一時刻，一帶負電粒子以同樣的初速度從坐標原點進入電場．正、負粒子從電場進入磁場時速度方向與電場和磁場邊界的夾角分別為60°和30°，兩粒子在磁場中分別運動半周后在某點相遇．已知兩粒子的重力以及兩粒子之間的相互作用都可忽略不計，兩粒子帶電量大小相等．求：
（1）帶正電的粒子在電場中的運動時間以及進入磁場瞬間豎直方向的速度大�。�
（2）正、負粒子的質(zhì)量之比m₁：m₂；
（3）兩粒子相遇位置P點的x軸的坐標；
（4）兩粒子先后進入電場的時間差．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，由位移時間關(guān)系求出時間；結(jié)合粒子進入磁場的方向，由豎直速度大小由初速度表示出來；
（2）此速度是由第一電場的加速和第二電場的減速而得，結(jié)合牛頓第二定律能求出質(zhì)量之比．
（3）先畫出兩個粒子相遇的軌跡圖，相遇是兩個粒子在轉(zhuǎn)動半周后相碰的，那么進入的兩點與相遇點構(gòu)成一個直角三角形，先求出粒子進入磁場前的縱坐標，由幾何關(guān)系就能求出相遇點P的坐標．
（4）由于兩粒子在電場中運動時間相同，所以進入電場時間差即為在磁場中從開始到相遇的時間差，由周期公式求出兩個粒子轉(zhuǎn)半周的時間差，就是粒子進入電場的時間差．

解答 解：（1）帶正電的粒子在電場中做類平拋運動，粒子初速度為v₀，水平方向：3L=v₀t
所以：t=$\frac{3L}{{v}_{0}}$
進磁場方向與邊界的夾角為θ．
${v_y}=\frac{v_0}{tanθ}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$v₀
結(jié)合牛頓第二定律可知，粒子在電場中沿豎直方向的速度變化如圖，記${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{1}{3}t$，則粒子在第一個電場運動的時間為+2t₁，在第二個電場運動的時間為t₁  則：

v_y=a×2t₁-at₁
qE=ma
聯(lián)立得：$m=\frac{qE{t}_{1}}{{v}_{0}}tanθ$
所以$\frac{m_1}{m_2}=\frac{{tan{{60}°}}}{{tan{{30}°}}}=\frac{3}{1}$   
（3）正粒子在電場運動的總時間為3t₁，則：
  第一個t₁的豎直位移為$\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$
  第二個t₁的豎直位移為$\frac{1}{2}{a}_{1}{（2{t}_{1}）}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=\frac{3}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$
  由對稱性，第三個t₁的豎直位移為$\frac{3}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$
  所以${y}_{1}=\frac{7}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$  
  結(jié)合①②得${y_1}=\frac{{7\sqrt{3}}}{6}L$
  同理${y_2}=\frac{{7\sqrt{3}}}{2}L$   
  由幾何關(guān)系，P點的坐標為：x_P=3L+（y₁+y₂）sin30°sin60°=6.5L

   ${y_P}=-[{y_2}-（{y_1}+{y_2}）sin{30°}cos{60°}]=-\frac{{7\sqrt{3}}}{3}L$
（4）設(shè)兩粒子在磁場中運動半徑為r₁、r₂
   由幾何關(guān)系2r₁=（y₁+y₂）sin60°
                    2r₂=（y₁+y₂）sin30°
  兩粒子在磁場中運動時間均為半個周期：
        ${t_1}=\frac{{π{r_1}}}{v_1}$
         ${t_2}=\frac{{π{r_2}}}{v_2}$
   v₀=v₁sin60°
   v₀=v₂sin30°
  由于兩粒子在電場中運動時間相同，所以進電場時間差即為磁場中相遇前的時間差△t=t₁-t₂
    解得$△t=\frac{{7\sqrt{3}πL}}{{6{v_0}}}$
答：（1）帶正電的粒子在電場中的運動時間為$\frac{3L}{{v}_{0}}$，進入磁場瞬間豎直方向的速度大小為$\frac{{v}_{0}}{tanθ}$；
（2）正、負粒子的質(zhì)量之比為3：1；
（3）兩粒子相遇的位置P點的坐標為（6.5L，$-\frac{7\sqrt{3}}{3}L$ ）；
（4）兩粒子先后進入電場的時間差為$\frac{7\sqrt{3}πL}{6{v}_{0}}$．

點評 本題雖沒有告訴電場和磁場的相關(guān)物理量，只從運動學(xué)角度告訴進入磁場的方向，以及兩粒子恰恰在磁場中均轉(zhuǎn)過半圈相遇于P點，所以要假定事先假定一些參數(shù)，最后再消去這些參數(shù)．要注意的是由于水平方向不受力，粒子水平方向做勻速直線運動，由于豎直方向是方向相反的兩塊電場，則豎直方向先做勻加速直線運動后做勻減速直線運動，表示出各自的豎直末速度，再由角度的關(guān)系，求出末速度關(guān)系，豎直位移等，最后得到所求．