Question

17．如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．M為磁場(chǎng)邊界上一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)個(gè)帶電荷量為+q、質(zhì)量為m的相同粒子（不計(jì)重力）在紙面內(nèi)向各個(gè)方向以相同的速率通過(guò)M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，這些粒子射出邊界的位置處于邊界的某一段圓弧上，這段圓弧的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的$\frac{1}{3}$，下列說(shuō)法中正確的是（　�。�

• A． 粒子從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率為v=$\frac{\sqrt{3}qBR}{2m}$
• B． 粒子從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率為v=$\frac{qBR}{m}$
• C． 若將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小增加到$\sqrt{3}$B，則粒子射出邊界的圓弧長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$
• D． 若將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小增加到$\frac{\sqrt{6}}{2}$B，則粒子射出邊界的圓弧長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找出臨界條件及角度關(guān)系，表示出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，利用圓周運(yùn)動(dòng)由洛倫茲力充當(dāng)向心力列式求解即可．

解答 解：AB、因?yàn)榱Ｗ由涑鲞吔绲奈恢锰幱谶吔绲哪骋欢螆A弧上，并不是整個(gè)圓周上都有，所以，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑小于R；
則粒子能射到的邊界其圓弧所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)正好等于圓周運(yùn)動(dòng)的直徑，
因?yàn)檫@段圓弧的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的$\frac{1}{3}$，所以，弦長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的等腰三角形的內(nèi)頂角為120°，
所以，弦長(zhǎng)2r=2Rsin60°，則粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑$r=Rsin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$；
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力充當(dāng)向心力，即$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，所以，$v=\frac{\sqrt{3}qBR}{2m}$，故A正確，B錯(cuò)誤；
C、若B變?yōu)樵瓉?lái)的$\sqrt{3}B$，則粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑$r=\frac{mv}{qB'}=\frac{m\frac{\sqrt{3}qBR}{2m}}{q\sqrt{3}B}=\frac{R}{2}$，同理可得，對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為R，由幾何關(guān)系可得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)磁場(chǎng)的圓心角為60°，所以，粒子射出邊界的圓弧長(zhǎng)度是圓周長(zhǎng)的$\frac{1}{6}$，即為原來(lái)的一半，故C正確；
D、若B變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{\sqrt{6}}{2}B$，則粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑$r=\frac{mv}{qB''}=\frac{m\frac{\sqrt{3}qBR}{2m}}{q\frac{\sqrt{6}B}{2}}}=\frac{R}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$，同理可得，對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為$\sqrt{2}R$，由幾何關(guān)系可得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)磁場(chǎng)的圓心角為90°，所以，粒子射出邊界的圓弧長(zhǎng)度是圓周長(zhǎng)的$\frac{1}{4}$，即為原來(lái)的$\frac{3}{4}$，故D錯(cuò)誤；
故選：AC．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一般有直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)和一般的曲線運(yùn)動(dòng)；直線運(yùn)動(dòng)一般由動(dòng)力學(xué)公式求解，圓周運(yùn)動(dòng)由洛侖茲力充當(dāng)向心力，一般的曲線運(yùn)動(dòng)一般由動(dòng)能定理求解．