Question

4．兩根足夠長的光滑平行直導(dǎo)軌MN、PQ與水平面成θ角放置，兩導(dǎo)軌間距為L，M、P兩點間接有阻值為R的電阻．一根質(zhì)量為m、阻值為R的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直．整套裝置處于磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面向上，導(dǎo)軌和金屬桿接觸良好，導(dǎo)軌的電阻不計．現(xiàn)讓ab桿由靜止開始沿導(dǎo)軌下滑．
（1）求ab桿下滑的最大速度v_m；
（2）ab桿由靜止釋放至達到最大速度的過程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為Q，求該過程中ab桿下滑的距離x及通過電阻R的電量q．

Answer 1

分析 （1）在分析桿的運動時，注意由于桿的速度逐漸變大因此安培力將逐漸變大，所以桿從導(dǎo)軌上做加速度逐漸減小的加速運動，當(dāng)安培力等于重力沿導(dǎo)軌分力時勻速運動，同時速度達到最大．
（2）桿下滑過程中，重力勢能減小轉(zhuǎn)化為電路中的焦耳熱和桿的動能，因此根據(jù)功能關(guān)系可求出ab桿下滑的距離x；根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出平均電流，然后根據(jù)q=It即可求出電量．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、安培力公式 有：
感應(yīng)電動勢為：E=BLv
感應(yīng)電流為：$I=\frac{E}{2R}$
ab桿所受的安培力為：F_A=BIL
由牛頓第二定律有：mgsinθ-F_A=ma
即：$mgsinθ-\frac{{{B^2}{L^2}v}}{2R}=ma$
當(dāng)加速度a為零時，速度v達最大，速度最大值為：${v_m}=\frac{2mgRsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$
（2）根據(jù)能量守恒定律有：$mgxsinθ=\frac{1}{2}m{v_m}^2+2Q$
得：$x=\frac{2Q}{mgsinθ}+\frac{{2{m^2}{R^2}gsinθ}}{{{B^4}{L^4}}}$
根據(jù)電磁感應(yīng)定律有：$\overline E=\frac{△φ}{△t}$
根據(jù)閉合電路歐姆定律有：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2R}$
感應(yīng)電量為：$q=\overline I△t$=$\frac{△Φ}{2R}$=$\frac{BLx}{2R}$
得：q=$\frac{BLQ}{mgRsinθ}$+$\frac{{m}^{2}Rgsinθ}{{B}^{3}{L}^{3}}$
答：
（1）ab桿下滑的最大速度v_m是$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）該過程中ab桿下滑的距離x是$\frac{2Q}{mgsinθ}$+$\frac{2{m}^{2}{R}^{2}gsinθ}{{B}^{4}{L}^{4}}$，通過電阻R的電量q是$\frac{BLQ}{mgRsinθ}$+$\frac{{m}^{2}Rgsinθ}{{B}^{3}{L}^{3}}$．

點評 對于電磁感應(yīng)的綜合問題，要做好電流、安培力、運動、功能關(guān)系這四個方面的分析，熟練推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，以及感應(yīng)電荷量與磁通量變化量的關(guān)系．