Question

4．兩根足夠長(zhǎng)的光滑平行直導(dǎo)軌MN、PQ與水平面成θ角放置，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，M、P兩點(diǎn)間接有阻值為R的電阻．一根質(zhì)量為m、阻值為R的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直．整套裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面向上，導(dǎo)軌和金屬桿接觸良好，導(dǎo)軌的電阻不計(jì)．現(xiàn)讓ab桿由靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌下滑．
（1）求ab桿下滑的最大速度v_m；
（2）ab桿由靜止釋放至達(dá)到最大速度的過(guò)程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為Q，求該過(guò)程中ab桿下滑的距離x及通過(guò)電阻R的電量q．

Answer 1

分析 （1）在分析桿的運(yùn)動(dòng)時(shí)，注意由于桿的速度逐漸變大因此安培力將逐漸變大，所以桿從導(dǎo)軌上做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)安培力等于重力沿導(dǎo)軌分力時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)速度達(dá)到最大．
（2）桿下滑過(guò)程中，重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為電路中的焦耳熱和桿的動(dòng)能，因此根據(jù)功能關(guān)系可求出ab桿下滑的距離x；根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出平均電流，然后根據(jù)q=It即可求出電量．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、安培力公式 有：
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv
感應(yīng)電流為：$I=\frac{E}{2R}$
ab桿所受的安培力為：F_A=BIL
由牛頓第二定律有：mgsinθ-F_A=ma
即：$mgsinθ-\frac{{{B^2}{L^2}v}}{2R}=ma$
當(dāng)加速度a為零時(shí)，速度v達(dá)最大，速度最大值為：${v_m}=\frac{2mgRsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$
（2）根據(jù)能量守恒定律有：$mgxsinθ=\frac{1}{2}m{v_m}^2+2Q$
得：$x=\frac{2Q}{mgsinθ}+\frac{{2{m^2}{R^2}gsinθ}}{{{B^4}{L^4}}}$
根據(jù)電磁感應(yīng)定律有：$\overline E=\frac{△φ}{△t}$
根據(jù)閉合電路歐姆定律有：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2R}$
感應(yīng)電量為：$q=\overline I△t$=$\frac{△Φ}{2R}$=$\frac{BLx}{2R}$
得：q=$\frac{BLQ}{mgRsinθ}$+$\frac{{m}^{2}Rgsinθ}{{B}^{3}{L}^{3}}$
答：
（1）ab桿下滑的最大速度v_m是$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）該過(guò)程中ab桿下滑的距離x是$\frac{2Q}{mgsinθ}$+$\frac{2{m}^{2}{R}^{2}gsinθ}{{B}^{4}{L}^{4}}$，通過(guò)電阻R的電量q是$\frac{BLQ}{mgRsinθ}$+$\frac{{m}^{2}Rgsinθ}{{B}^{3}{L}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)的綜合問(wèn)題，要做好電流、安培力、運(yùn)動(dòng)、功能關(guān)系這四個(gè)方面的分析，熟練推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，以及感應(yīng)電荷量與磁通量變化量的關(guān)系．