Question

9．如圖所示，軌道Q是半徑為R的光滑豎直圓軌道．軌道P是由兩個(gè)半徑為R的光滑圓弧軌道平滑連接組成．它們都與光滑水平軌道平滑相連．小車(chē)A、B的質(zhì)量分別為m_A=2Kg和m_B=1Kg，小車(chē)之間夾著一個(gè)壓縮的彈簧（彈射器），其儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為E_p=150J．小車(chē)與彈簧不相連．彈射器解鎖后，把小車(chē)彈出，彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為小車(chē)動(dòng)能．求：
（1）彈射器把小車(chē)彈出后，兩小車(chē)的速度分別為多大？
（2）若小車(chē)A恰好能翻過(guò)軌道P，那么小車(chē)B能否翻過(guò)圓弧軌道？

Answer 1

分析 （1）彈射器把小車(chē)彈出的過(guò)程，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，機(jī)械能也守恒．由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律結(jié)合求解．
（2）若小車(chē)A恰好能翻過(guò)軌道P，小車(chē)通過(guò)軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度為0．根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出軌道的半徑R．小車(chē)B恰好通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，由重力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的臨界速度，再由機(jī)械能守恒求出小車(chē)到達(dá)最高點(diǎn)的速度，與臨界速度比較，即可作出判斷．

解答 解：（1）彈射器把小車(chē)彈出的過(guò)程，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，機(jī)械能也守恒．設(shè)彈射器把小車(chē)彈出后，兩小車(chē)的速度分別為v_A和v_B．取向右為正方向．
由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得
  0=m_Bv_B-m_Av_A；
  E_p=$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$
解得 v_A=5$\sqrt{2}$m/s，v_B=10$\sqrt{2}$m/s
（2）若小車(chē)A恰好能翻過(guò)軌道P，說(shuō)明小車(chē)在軌道P最高點(diǎn)的速度為0，機(jī)械能守恒定律有
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
可得 R=$\frac{{v}_{A}^{2}}{2g}$=2.5m
由于B小車(chē)在半徑為R的圓形軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，小車(chē)能經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₀，此時(shí)，重力恰好充當(dāng)向心力．則有
  m_Bg=m_B$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得 v₀=$\sqrt{gR}$=5m/s
由機(jī)械能守恒定律得：小車(chē)B沿圓軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能．到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度為 
 $\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{1}^{2}$+2mgR
解得 v₁=100m/s＞v₀
可見(jiàn)，小車(chē)B能翻過(guò)圓形軌道．
答：
（1）彈射器把小車(chē)彈出后，兩小車(chē)的速度分別為5$\sqrt{2}$m/s和10$\sqrt{2}$m/s．
（2）若小車(chē)A恰好能翻過(guò)軌道P，小車(chē)B能翻過(guò)圓弧軌道．

點(diǎn)評(píng) 小車(chē)A剛好到達(dá)圓形軌道最高點(diǎn)的條件是：到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度為零；小車(chē)B到達(dá)圓形軌道最高點(diǎn)的條件：重力等于向心力．此題的關(guān)鍵要把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件，求出臨界速度，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律結(jié)合研究這類(lèi)問(wèn)題．