Question

8．如圖所示．豎直放置的間距為L(zhǎng)=1米的兩平行光滑導(dǎo)軌，上端連接一個(gè)阻值為R=1Ω的電阻，在導(dǎo)軌的MN位置以下有垂直紙面向里的磁場(chǎng)，在MN處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀=1T，在MN下方的磁場(chǎng)沿Y軸方向磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻減少，在MN下方1米處的磁感應(yīng)強(qiáng)度剛好為零．現(xiàn)有一質(zhì)量為1kg，電阻也是R=1Ω的金屬棒，從距離MN為h=0.2米的上方緊貼導(dǎo)軌自由下落，然后進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域繼續(xù)下落相同高度h的過(guò)程中，能使得電阻R上的電功率保持不變（不計(jì)一切摩擦）求（g=10m/s²）：
（1）電阻R上的電功率；
（2）從MN位置再下降h時(shí)，金屬棒的速度v；
（3）從MN位置再下降h所用的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，根據(jù)閉合電路的歐姆定律和法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電流大小，再根據(jù)電功率的計(jì)算公式可得電阻R上的電功率；
（2）求出磁感應(yīng)強(qiáng)度隨y的變化關(guān)系式，根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不變求解速度大�。�
（3）設(shè)從MN位置再下降h過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理求解克服安培力做的功，再根據(jù)W_A=Pt求解時(shí)間．

解答 解：（1）MN開(kāi)始下落h=0.2米進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v₀，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=2m/s；
此時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
E=B₀Lv₀=1×1×2V=2V；
感應(yīng)電流為：
I=$\frac{E}{2R}=\frac{2}{2}A=1A$，
根據(jù)電功率的計(jì)算公式可得電阻R上的電功率為：
P=I²R=1²×1W=1W；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度隨y的變化關(guān)系為：
B=B₀-ky，
當(dāng)y=1m時(shí)B=0，所以k=1，
所以有：B=1-y （T）
由于金屬棒在磁場(chǎng)中下落h的過(guò)程中電阻R上的電功率保持不變，所以感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不變，所以有：
B₀Lv₀=（1-h）Lv，
代入數(shù)據(jù)解得：v=2.5m/s；
（3）設(shè)從MN位置再下降h過(guò)程中，克服安培力做的功為W_A，根據(jù)動(dòng)能定理可得：
mgh-W_A=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得：W_A=0.875J；
所以整個(gè)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q=W_A=0.875J，
根據(jù)焦耳定律可得：Q=2P•t，
代入數(shù)據(jù)解得：t=0.4375s≈0.44s．
答：（1）電阻R上的電功率為1W；
（2）從MN位置再下降h時(shí)，金屬棒的速度為2.5m/s；
（3）從MN位置再下降h所用的時(shí)間為0.44s．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問(wèn)題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．