Question

8．如圖所示，半徑為R的光滑的$\frac{3}{4}$圓弧軌道AC放在豎直平面內(nèi)，與足夠長的粗糙水平軌道BD通過光滑水平軌道AB相連，在光滑水平軌道上，有a、b兩物塊和一段輕質(zhì)彈簧．將彈簧壓縮后用細(xì)線將它們拴在一起，物塊與彈簧不拴接．將細(xì)線燒斷后，物塊a通過圈弧軌道的最高點(diǎn)P時(shí)，對軌道的壓力等于自身重力．已知物塊a的質(zhì)量為m，b的質(zhì)量為2m，物塊b與BD面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物塊到達(dá)A點(diǎn)或B點(diǎn)前已和彈簧分離，重力加速度為g．求：
（1）物塊b沿軌道BD運(yùn)動(dòng)的距離x；
（2）燒斷細(xì)線前彈簧的彈性勢能E_p．

Answer 1

分析 （1）彈簧彈開a、b過程，ab系統(tǒng)動(dòng)量守恒，物塊a通過軌道最高點(diǎn)P點(diǎn)，由合力充當(dāng)向心力，由向心力公式可得出小球a在P點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒可得出a球經(jīng)過A點(diǎn)的速度，進(jìn)而求得b被彈開時(shí)的速度，再根據(jù)動(dòng)能定理求解距離x；
（2）釋放彈簧，ab被彈出的過程，由機(jī)械能守恒可得出彈簧的彈性勢能．

解答 解：（1）彈簧彈開a、b過程，由動(dòng)量守恒定律得：0=mv₁-2mv₂
物塊a從A到P運(yùn)動(dòng)的過程中，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$
在最高點(diǎn)重力與支持力合力提供向心力：$mg+F=m\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$ 
聯(lián)立可解得：${v}_{1}=\sqrt{6gR}$，${v}_{2}=\frac{\sqrt{6gR}}{2}$ 
物塊b減速到停下的過程中，由動(dòng)能定理得：$-μ•2mgx=0-\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$
可解得：$x=\frac{3R}{4μ}$
（2）彈簧彈開物塊過程，彈性勢能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能：${E}_{p}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$
解得彈性勢能：${E}_{p}=\frac{9}{2}mgR$
答：（1）物塊b沿軌道BD運(yùn)動(dòng)的距離x為$\frac{3R}{4μ}$；
（2）燒斷細(xì)線前彈簧的彈性勢能E_p為$\frac{9}{2}mgR$．

點(diǎn)評 本題主要考查了動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵：一要明確小球a到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)：合力充當(dāng)向心力．二要明確有摩擦?xí)r往往運(yùn)用動(dòng)能定理或能量守恒定律求解．