Question

16．城市中為了解決交通問題，修建了許多立交橋，如圖所示橋面為圓弧形的立交橋AB，橫跨在水平路面上，長為L=200m，橋高h=20m．認為橋的兩端A、B與水平路面的連接處是平滑的．一輛質量m=1040kg的小汽車沖上圓弧形立交橋，到達橋頂時的速度為10m/s，試計算：（g取10m/s²）

（1）小汽車在橋頂處對橋面的壓力大小
（2）若小車在橋頂處的速度為v₁=$10\sqrt{26}$m/s時，小汽車將如何運動．

Answer 1

分析 （1）已知橋長為L=200m，橋高h=20m，根據幾何知識求出橋面圓弧的半徑．以汽車為研究對象，根據牛頓第二定律求出橋面對汽車的支持力，再由牛頓第三定律得到汽車在橋頂處對橋面的壓力的大�。�
（2）當汽車恰好飛離橋面頂點時，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律此時的臨界速度，將v₁=$10\sqrt{26}$m/s與臨界速度比較，來分析汽車的運動情況．

解答 解：（1）設橋面圓弧的半徑為R．
由幾何關系得：R²=（R-h）²+（$\frac{1}{2}$L）²
解得：R=260m
以汽車為研究對象，由牛頓第二定律得：
  mg-F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：F_N=10000N
由牛頓第三定律得車對橋面的壓力為：F_N′=F_N=10000N
（2）假設在橋頂壓力為零，則有：mg=m $\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×260}$=10$\sqrt{26}$m/s
而v₁=$10\sqrt{26}$m/s，此時車對橋頂沒有壓力，所以車將做平拋運動．
答：
（1）小汽車在橋頂處對橋面的壓力的大小為10000N．
（2）若小車在橋頂處的速度為v₁=$10\sqrt{26}$m/s時，車將做平拋運動．

點評 汽車通過圓弧形橋面時做圓周運動，由重力和支持力的合力提供汽車的向心力．