Question

15．如圖所示，一個質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子，在D處沿圖示方向以一定的速度射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直紙面向里．結(jié)果離子正好從距A點(diǎn)為d的小孔C沿垂直于電場方向進(jìn)入勻強(qiáng)電場，此電場方向與AC平行且向上，最后離子打在G處，而G處距A點(diǎn)2d（AG⊥AC）．不計(jì)離子重力，離子運(yùn)動軌跡在紙面內(nèi)．求：
（1）此離子射入磁場時的速度v₀；
（2）離子從D處運(yùn)動到G處所需時間t；
（3）離子到達(dá)G處時的動能E_k．

Answer 1

分析 （1）畫出離子的運(yùn)動軌跡，由幾何知識求出離子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑r．則有$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{r}$求解初速度；
（2）離子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動公式結(jié)合可求出半徑和周期．找出離子在磁場中圓周運(yùn)動時軌跡所對應(yīng)的圓心角，可求得時間．離子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，水平方向做勻速直線運(yùn)動，豎直方向做勻加速運(yùn)動，由運(yùn)動學(xué)公式即可求出離子在電場中運(yùn)動的時間．即能求出總時間．
（3）由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式可求出離子在電場中偏轉(zhuǎn)的距離，根據(jù)動能定理求出離子到達(dá)G處時的動能．

解答 解：（1）正離子軌跡如圖所示：

圓周運(yùn)動半徑r滿足：d=r+rcos60°
解得r=$\frac{2}{3}d$
設(shè)離子在磁場中的運(yùn)動速度為v₀，
則有：$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{r}$
得${v_0}=\frac{2qBd}{3m}$
 （2）T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{Bq}$ 
由圖知離子在磁場中做圓周運(yùn)動的時間為：
${t_1}=\frac{1}{3}T=\frac{2πm}{3Bq}$
離子在電場中做類平拋運(yùn)動，從C到G的時間為：t₂=$\frac{2d}{{v}_{0}}$=$\frac{3m}{Bq}$ 
離子從D→C→G的總時間為t=t₁+t₂=$\frac{（9+2π）m}{3Bq}$
（3）設(shè)電場強(qiáng)度為E，
則有：qE=ma
d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
根據(jù)動能定理得：$qEd={E_k}-\frac{1}{2}mv_0^2$
解得：${E_k}=\frac{{4{B^2}{q^2}{d^2}}}{9m}$
答：（1）此離子射入磁場時的速度v₀為$\frac{2qBd}{3m}$；
（2）離子從D處運(yùn)動到G處所需時間t為$\frac{（9+2π）m}{3Bq}$；
（3）離子到達(dá)G處時的動能為$\frac{4{B}^{2}{q}^{2}n7vphzt^{2}}{9m}$．

點(diǎn)評 本題離子在組合場中運(yùn)動的問題，離子在磁場中運(yùn)動畫軌跡是解題的關(guān)鍵，在電場中運(yùn)用運(yùn)動的分解進(jìn)行研究結(jié)合動能定理解動能較簡單些．