Question

4．如圖1所示，在x軸上方有垂直xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁=B₀，在x軸下方有交替分布的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，勻強(qiáng)電場(chǎng)平行于y軸，勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂=2B₀垂直于xoy平面，圖象如圖2所示．一質(zhì)量為m，電量為-q的粒子在t=$\frac{2}{3}$t₀時(shí)刻沿著與y軸正方向成60°角方向從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)，t=2t₀時(shí)第一次到達(dá)x軸，并且速度垂直于x軸經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，C與原點(diǎn)O的距離為3L．第二次到達(dá)x軸時(shí)經(jīng)過(guò)x軸上的D點(diǎn)，D與原點(diǎn)O的距離為4L．（不計(jì)粒子重力，電場(chǎng)和磁場(chǎng)互不影響，結(jié)果用B₀、m、q、L表示．）

（1）求此粒子從A點(diǎn)射出時(shí)的速度υ₀．
（2）求電場(chǎng)強(qiáng)度E₀的大小和方向．
（3）粒子在t=9t₀時(shí)到達(dá)M點(diǎn)，求M點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由幾何關(guān)系求解半徑，根據(jù)牛頓第二定律聯(lián)立求解初速度；
（2）畫(huà)出粒子在t=4t₀內(nèi)的軌跡，得到加速前后的圓周運(yùn)動(dòng)周期關(guān)系，進(jìn)而得到時(shí)間關(guān)系，然后結(jié)合牛頓第二定律和速度時(shí)間公式求解場(chǎng)強(qiáng)的大小；
（3）分階段分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)粒子的周期性運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到粒子在t=9t₀時(shí)的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₁，
由牛頓第二定律得：$q{v_0}{B_1}=m\frac{v_0^2}{R_1}$…①
根據(jù)題意由幾何關(guān)系可得：$3L={R_1}+\frac{1}{2}{R_1}$…②
聯(lián)立①②得：${v_0}=\frac{{2q{B_0}L}}{m}$…③
（2）粒子在第一象限磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期設(shè)為T(mén)₁，可得：
${T_1}=\frac{2πm}{{q{B_0}}}$…④
粒子在第四象限磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期設(shè)為T(mén)₂，可得：
${T_2}=\frac{2πm}{{q{B_2}}}$…⑤
根據(jù)題意由幾何關(guān)系可得：$\frac{1}{3}$T₁=$\frac{4}{3}{t}_{0}$  …⑥
由④⑤⑥可得：
T₁=4t₀…⑦
T₂=2t₀…⑧
綜上可以判斷3t₀-4 t₀粒子在第四象限的磁場(chǎng)中剛好運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期，半徑為：
${R_2}=\frac{L}{2}$…⑨
由牛頓第二定律得：$q{v_2}{B_2}=m\frac{v_2^2}{R_2}$…⑩
2 t₀-3 t₀，粒子做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，
qE=ma                  
v₂=v₁-at
綜上解得：$E=\frac{qB_0^2L}{2πm}$
（3）由題意知，粒子在8 t₀時(shí)剛在第四象限做完半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，半徑R₃=$\frac{1}{2}{R}_{1}$=L，9t₀在第一象限轉(zhuǎn)$\frac{1}{4}$圓周，根據(jù)幾何關(guān)系知：
x=12L
y=2L                    
聯(lián)立可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（12L，2L）                    
答：（1）粒子從A點(diǎn)射出時(shí)的速度得${v_0}=\frac{{2q{B_0}L}}{m}$；
 （2）電場(chǎng)強(qiáng)度大小為$\frac{q{B}_{0}^{2}L}{2πm}$，方向?yàn)槠叫杏趛軸向下．
（3）粒子在t=9t₀時(shí)到達(dá)M點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（12L，2L）

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)等共存的復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，其受力情況和運(yùn)動(dòng)圖景都比較復(fù)雜，但其本質(zhì)是力學(xué)問(wèn)題，應(yīng)按力學(xué)的基本思路，運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律研究和解決此類問(wèn)題．