Question

2．如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R．用質(zhì)量m=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊飛離桌面邊緣D點(diǎn)后由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道，取g=10m/s²，$\sqrt{2}$=1.4，求：
（1）求物塊在P點(diǎn)的速度大小；
（2）求D、P間的水平距離；
（3）通過計(jì)算判斷物塊能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）（2）物塊離開D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由P點(diǎn)沿圓軌道切線落入圓軌道，知道了到達(dá)P點(diǎn)的速度方向，將P點(diǎn)的速度分解為水平方向和豎直方向，根據(jù)豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)求出豎直分速度，再根據(jù)角度關(guān)系求出水平分速度，由速度的合成求出P點(diǎn)的速度和P、D之間的水平距離．
（3）物塊在內(nèi)軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)有臨界速度，則mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，求出M點(diǎn)的速度，與臨界速度進(jìn)行比較，判斷其能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．

解答 解：（1）設(shè)物塊由D點(diǎn)以v_D做平拋，落到P點(diǎn)時(shí)其豎直速度為：$\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}=mgR$
v_y=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}=4$m/s 
根據(jù)幾何關(guān)系有：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$=tan45°
代入數(shù)據(jù)解得：v_D=4m/s
${v}_{P}=\sqrt{{v}_{D}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{2}$m/s
（2）平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=0.4s
所以DP間的水平距離為：x=v_Dt=4×0.4m=1.6m．
（3）設(shè)物塊到達(dá)M點(diǎn)的臨界速度為v_m，有：
mg=m$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$
v_M=$\sqrt{gR}$=2$\sqrt{2}$m/s
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv{′}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}mgR$ 
解得：v′=$\sqrt{16-8\sqrt{2}}$m/s
因?yàn)?\sqrt{16-8\sqrt{2}}$＜2$\sqrt{2}$
所以物塊不能到達(dá)M點(diǎn)．
答：（1）物塊在P點(diǎn)的速度大小是$4\sqrt{2}$m/s；
（2）D、P間的水平距離是1.6m；
（3）m不能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及到多個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，主要考查了機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)基本公式、圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)及公式較多，難度較大，屬于難題．