Question

5．如圖所示，靜止的圓錐體豎直放置，頂角為α，質量為m且分布均勻的軟繩水平的套在圓錐體上，忽略軟繩與椎體之間的摩擦力，試求軟繩中的張力．

Answer 1

分析 設軟繩半徑為R，在軟繩中任取一小段△l，其質量為$△m=\frac{m}{2πR}△l$，△l作為研究對象，受力有：錐面的支持力N，其方向垂直于錐面，△l兩端的張力T及重力△mg，平衡時在水平和豎直兩個方向上的合力均為零，根據(jù)共點力平衡列方程求解．

解答 解：如圖（乙）、（丙）所示，設△l對軟繩環(huán)中心的張角為△φ，根據(jù)共點力平衡條件知，
△l在水平方向上受力平衡，有：$2Tsin\frac{△φ}{2}=Ncos\frac{α}{2}$   ①
因△l很短，△φ很小，所以$sin\frac{△φ}{2}≈\frac{△φ}{2}$    ②
將②代入①式有：T△φ=$Ncos\frac{α}{2}$    ③
△l在豎直方向上也受力平衡，$△mg=Nsin\frac{α}{2}$   ④
④代入③式得，$tan\frac{α}{2}=\frac{△m}{T△φ}g$     ⑤
⑤式中$△m=\frac{m}{2πR}△l=\frac{m△φ}{2π}$，
將其代入⑤式可得$tan\frac{α}{2}=\frac{mg}{2πT}$．

所以軟繩中的張力為T=$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$．
答：軟繩中的張力為$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$．

點評 本題利用微元法得出一個近似關系$sin\frac{△φ}{2}≈\frac{△φ}{2}$，它作為一種思想，一種技巧，將在以后極為方便地論證一系列重要公式，還可使分析和解決問題的思路變得極為簡捷，本題是競賽題，難度較大．