Question

15．如圖所示，兩個(gè)半徑為R的四分之一圓弧構(gòu)成的光滑細(xì)管道ABC豎直放置，且固定在光滑水平面上，圓心連線O₁O₂水平，輕彈簧左端固定在豎直擋板上，右端與質(zhì)量為m的小球相連，軌道右端有一薄板，薄板左端D到管道右道C的水平距離為R，開始時(shí)彈簧處于鎖定狀態(tài)，具有的彈性勢(shì)能為3mgR，其中g(shù)為重力加速度，現(xiàn)解除鎖定，小球離開彈簧后進(jìn)入管道，最后從C點(diǎn)拋出．
（1）求小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；
（2）求小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)管道的壓力；
（3）討論彈簧鎖定時(shí)彈性勢(shì)能應(yīng)滿足什么條件，從C點(diǎn)拋出的小球才能擊中薄板DE．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律可以求出小球的動(dòng)能；
（2）小球做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可以求出彈力大小，再根據(jù)牛頓第三定律可得壓力；
（3）小球離開C后做平拋運(yùn)動(dòng)，由能量守恒定律求出彈簧的彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）解除彈簧鎖定后小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過(guò)程，彈簧和小球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：3mgR=2mgR+E_k
解得：E_k=mgR
（2）小球過(guò)C時(shí)的動(dòng)能為：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgR$
在C點(diǎn)由牛頓第二定律得：$mg+F=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F=mg       
由牛頓第三定律得：F'=F=mg，方向豎直向上 
（3）小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：x₁=v₁t               
若要小球擊中薄板，應(yīng)滿足：R≤x₁≤2R  
彈簧的彈性勢(shì)能：${E}_{P}=2mgR+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$         
彈性勢(shì)能E_P滿足：$\frac{17}{8}mgR≤{E}_{P}≤\frac{5}{2}mgR$時(shí)，小球才能擊中薄板．
答：（1）求小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為mgR；
（2）求小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)管道的壓力大小為mg，方向豎直向上；
（3）彈性勢(shì)能滿足：$\frac{17}{8}mgR≤{E}_{P}≤\frac{5}{2}mgR$時(shí)，從C點(diǎn)拋出的小球才能擊中薄板DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求小球的動(dòng)能、彈力、彈簧的彈性勢(shì)能，分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可正確解題．