Question

如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓管豎直放置，頂端塞有一個(gè)質(zhì)量為m的彈性小球，M=4m，球和管間的滑動(dòng)摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4mg．管從下端離地面距離為H處自由落下，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，管始終保持豎直，每次落地后向上彈起的速度與落地時(shí)速度大小相等，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：

（1）管第一次落地彈起時(shí)管和球的加速度；

（2）管第一次落地彈起后，若球沒(méi)有從管中滑出，則球與管達(dá)到相同速度時(shí)，管的下端距地面的高度；

（3）管第二次彈起后球不致滑落，L應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

【考點(diǎn)】： 牛頓第二定律；勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間的關(guān)系．

【專(zhuān)題】： 牛頓運(yùn)動(dòng)定律綜合專(zhuān)題．

【分析】：（1）根據(jù)v02=2gH求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據(jù)牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度，從而得知球相對(duì)于管的加速度，以管為參考系，根據(jù)速度位移公式求出球相對(duì)于管靜止時(shí)的相對(duì)位移，即可求解．

（2）根據(jù)管上升的加速度，以及相對(duì)加速度分別求出管從碰地到它彈到最高點(diǎn)所需時(shí)間和管從碰地到與球相對(duì)靜止所需的時(shí)間，比較兩個(gè)時(shí)間知道球與管的運(yùn)動(dòng)情況，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出管上升的最大高度．

（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解

【解析】： 解：（1）管第一次落地彈起時(shí)，管的加速度，

方向向下

球的加速度，方向向上

（2）取豎直向下為正方向．球與管第一次碰地時(shí)速度，方向向下．

碰地后管的速度，方向向上；球的速度，方向向下

若球剛好沒(méi)有從管中滑出，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t1，球管速度v相同，則有﹣v1+a1t1=v2﹣a2t1

又管從碰地到它彈到最高點(diǎn)所需時(shí)間t2，則：

因?yàn)閠1＜t2，說(shuō)明管在達(dá)到最高點(diǎn)前，球與管相對(duì)靜止，故管從彈起經(jīng)t1這段時(shí)間上升的高度為所求．得

（3）球與管達(dá)到相對(duì)靜止后，將以速度v、加速度 g豎直上升到最高點(diǎn)，由于，

故這個(gè)高度是

因此，管第一次落地彈起后上升的最大高度

這一過(guò)程球運(yùn)動(dòng)的位移

則球與管發(fā)生相對(duì)位移

當(dāng)管與球從Hm再次下落，第二次落地彈起中，發(fā)生的相對(duì)位移由第一次可類(lèi)推知：

所以管第二次彈起后，球不會(huì)滑出管外的條件是s1+s2＜L

即L應(yīng)滿足條件

答：（1）管第一次落地彈起時(shí)管和球的加速度分別為2g，3g；

（2）管第一次落地彈起后，若球沒(méi)有從管中滑出，則球與管達(dá)到相同速度時(shí)，管的下端距地面的高度為；

（3）管第二次彈起后球不致滑落，L應(yīng)滿足

【點(diǎn)評(píng)】： 本題的難點(diǎn)在于管和球的運(yùn)動(dòng)情況難于判斷，關(guān)鍵通過(guò)計(jì)算理清球和管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解